Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Если отвлечься от движения центра масс, считая его как бы неподвижным, то уравнение (26.6) отпадает. Остается только уравнение (26.7) для относительного движения частиц.
158
УРАВНЕНИИ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
Поэтому это уравнение мы будем писать просто в виде
- 4^S/2^ + U{r)x|) = <Гг|). *26.8)
ЗАДАЧА
Дейтрон состоит из связанных протона и нейтрона. Они удерживают друг друга посредством короткодействующих ядерных сил. Потенциальную функцию взаимодействия можно аппроксимировать пространственной потенциальной ямой прямоугольной формы с глубиной —Uо и радиусом а (расстояние между центрами протона и нейтрона). Дейтрон имеет только одно связанное состояние. Энергия связи дейтрона, измеренная экспериментально, составляет 2,225 МэВ. Этого недостаточно для определения двух неизвестных Uо и а. Зададим а = 2-10—13 см (это недалеко от истины). Мы не настаиваем, что это есть точное значение а. Наша цель — привести только схему расчета. Из этих данных определить глубину потенциальной ямы —U0.
Решение. Представляет интерес только относительное движение протона и нейтрона. Поэтому можно воспользоваться уравнением (26.8), понимая под m приведенную массу системы. Если пренебречь различием масс протона и нейтрона, то приведенная масса будет т/2, где т — масса одной из частиц (например, протона). В дальнейших вычислениях используются следующие постоянные:
тс2 = 938,28 МэВ, he = 1,97329 • 10“11 МэВ • см.
Так как у дейтрона только одно связанное состояние, то его энергия в этом состоянии <S = —2,225 МэВ. Это позволяет по формулам (24.6) и (24.12) найти т|. Только в формуле (24.6) m следует заменить на т/2. Это дает
^2 = _ m^a2/ft2 = - mc2&a2jh2c2 = 0,21437 т) = 0,463099.
Величину | находим из уравнения
Л = — I etg І-
Сначала решаем это уравнение грубо графически, пользуясь крайней левой кривой на рис. 46,6. Затем уточняем решение аналитически с использованием интерполирования. Таким путем без труда находим
1 = 1,81993.
Искомая глубина потенциальной ямы
“ Uo = + л2) = 36’61 Мэ В'
§ 27. Квантование водородоподобного атома в сферически симметричном случае
1. Приведем еще один пример на квантование энергии атомной системы. Речь идет о водородоподобном атоме. Рассмотрим частный случай, когда волновая функция ip электрона в атоме сферически симметрична, т. е. зависит только от радиуса г — расстояния электрона от атомного ядра. Такой случай не предусматривался старой теорией Бора. В ней всякое движение электрона вокруг ядра происходило по плоским орбитам и, следовательно, не могло быть сферически симметричным. Но в
КВАНТОВАНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
159
квантовой механике, в которой нет представления о движении электронов по орбитам, нет никаких препятствий для реализации сферически симметричных состояний атома. Из сферической симметрии следует, что в таких состояниях должна обращаться в нуль величина, соответствующая тому, что в классической механике называется моментом количества движения. В теории Бора нулевым моментом количества движения обладал бы электрон, движущийся прямолинейно вдоль радиуса. При таких движениях он неизменно претерпевал бы столкновения с атомным ядром. Старая теория Бора не давала удовлетворительного решения возникавшей здесь трудности, — чтобы избежать столкновений с ядром, она просто исключала возможность радиальных движений электрона. Понятно, что в квантовой механике подобной трудности не возникает.
2. Пусть Ze— заряд ядра. Естественно записать уравнение Шредингера в полярных координатах. В рассматриваемом случае сферической симметрии оно будет
-3-+т-? + (*-ф-<>- «»•<)
где введены обозначения
р2 = -2rnS'/h2, q = 2mZeW (47 2)
Введем новую функцию и(г) по формуле
Тогда
_^__2р^ + ^ц = о. (27.3)
Ищем решение этого уравнения в виде ряда
с»
(27.4)
где у — постоянное число, пока что не определенное. Подставляя (27.4) в (27.3) и приравнивая члены с одинаковыми степенями, придем к соотношениям
Y (V — 1) == 0, (27.5)
k(k + l)aft+1 — 2$ka.k -f qak = 0 при кфу. (27.6)
Из (27.5) следует, что либо у = 0, либо у — 1. Первая возможность исключается, так как при у =0 нулевой член ряда (27.4), т. е. а0, был бы отличен от нуля. А в таком случае функция гр при г— 0 обращалась бы в бесконечность как а0/г, что противоречит общим требованиям, накладываемым на гр в особых точках. Таким образом, разложение (27.4) должно начинаться с k = 1, а это значит, что у — 1.
160
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
Исследуем теперь поведение ряда (27.4) на бесконечности. Из (27.6) получаем
т-д_
ak *(*+!)¦ '
Отсюда следует, что при k оо
afe+i 2Р
k + і '
Сравним разложение (27.4) с разложением показательной функции:
ОО оо
1
2Hfe-
ft-0 fc=0
Коэффициенты си последнего разложения асимптотически ведут себя на бесконечности так же, как и коэффициенты ak, ибо
-к+1
2(5
k + 1
Значит, на бесконечности сумма ряда (27.4) асимптотически ведет себя как показательная функция е+2^г, а волновая функция г|)(г) —как е$г/г, т. е. при произвольно выбранном значении 8 функция я|і (г) при г = оо обращается в бесконечность. Этого не будет только для таких значений 8, при которых ряд (27.4) обрывается, т. е. переходит в сумму конечного числа членов. Пусть, например, при k — п числитель формулы (27.7) 2|3? — д = 0. Тогда, как видно из (27.7), ап+1 и все последующие коэффициенты будут равны нулю, т. е. ряд (27.4) оборвется. Следовательно, п-й энергетический уровень определится условием 2pn — q = 0. Используя его, из (27.2) находим
