Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
') Произвольную функцию Ф(х, t), периодичную по х, можно разложить в ряд Фурье по х, коэффициенты которого будут функциями t. Распространено ошибочное мнение, что это и есть разложение по плоским волнам де Бройля. Ошибка состоит в том, что периодическая функция Ф(х, t) не может быть произвольной, а должна удовлетворять уравнению Шредингера
(21.5). Это накладывает ограничения на коэффициенты разложения как функции времени t.
184
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
Рассуждая аналогичным образом, можем без труда получить для произвольного целого положительного п
(p’l)^\^[-ih~)nWdx, (30.14)
а дли целой рациональной функции импульса
(jF{p))=^F(P)Wdx, (30.15)
где через р обозначен оператор
p = px = — ih~^-, (30.16)
называемый оператором импульса, точнее — оператором проекции импульса рх.
5. Квантовая механика постулативпо обобщает полученные результаты на любые физические величины, являющиеся функциями координат и импульсов. Иначе говоря, она полагает
(F х, р)) = J ,х) F (х, р) ix) dx. (30.17)
Здесь F(x, р)—целая рациональная функция координат и импульсов, как она определяется классически, a F(x, р)—соответствующий ей оператор. Формула (30.17) и может быть положена в основу введения операторов в квантовую механику. Заметим, что поскольку мы располагаем операторами х. и р в прямоугольных координатах, при нахождении оператора F(x, р) надо исхо-
дить из соответствующей классической формулы также в прямоугольных координатах или в векторной форме.
Нелишне подчеркнуть, что под х и р в формуле (30.17)
нельзя понимать значения координаты * и импульса р, получен-
ные в результате одного и того же измерения. Такое понимание противоречит принципу неопределенностей Гейзенберга. Под ,г и р следует понимать координату и импульс в классическом смысле. Квантовая механика заменяет эти величины операторами іири вводит новые операторы F (х, р). Оператор Fix, р) получается в результате применения к х и р тех же операций сложения и умножения, с помощью которых в классической физике по значениям х и р находится значение функции F(x, р). Здесь нет еще никакой статистичности, свойственной квантовой механике. Статистичность появляется при переходе к формуле (30.17), ибо она дает только среднее значение функции F(x, р), а не ее истинное значение (которое в квантовой механике, вообще говоря, может не иметь никакого смысла из-за невозможности характеризовать состояние частицы одновременным заданием х и р). Получение оператора F(x, р) из классической функции F(x, р) обусловливает, наряду с другими соображениями, тесную связь между классической и квантовой механиками. По-
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
185
лучается парадоксальное утверждение, что обоснование квантовой механики принципиально невозможно без механики классической, хотя квантовая механика и является более общей теорией, в которой классическая механика содержится как предельный частный случай. Этот предельный случай получается из квантовой механики, когда постоянная Планка h пренебрежимо мала по сравнению со всеми величинами той же размерности, играющими роль в рассматриваемом явлении.
Все полученные результаты выведены для одномерного случая. Это сделано только в целях простоты и сокращения записи формул. Но эти- результаты без труда обобщаются и на трехмерный случай. Так, оператором трехмерного импульса частицы является символический вектор
i> = -i»{-ki+Wl + -Wk) = -ih'1' {Ж№
а формула для среднего значения такого импульса принимает
вид
(р>= $ХР*(- ihV)WdV, (30.19)
где интегрирование производится по всему пространству V, а функция Y предполагается нормированной к единице:
J'T'FdV^l. (30.20)
Таким образом, всякой классической величине F(r, р) квантовая механика сопоставляет оператор F(r, р), получающийся заменой классических величин г и р на соответствующие операторы г и р. При этом связь с реально наблюдаемыми величинами устанавливается статистически с помощью формулы
(F (г, р))=5 p)4dV. (30.21)
6. Поставим теперь вопрос, не существует ли таких состояний, что при измерении величины L, соответствующей оператору С, всегда получается определенное значение L. Легко видеть, что такому условию удовлетворяют волновые функции, являющиеся решениями уравнения
LW = L4. (30.22)
Действительно, в этом случае
Ч r'LWdx = L^W'4'dx=-L,
т. е. среднее значение <L> всегда равно L. А это возможно тогда и только тогда, когда результат каждого измерения равен L. Мы доказали достаточность условия (30.22). Немного сложнее до-
186
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
называется и его необходимость, но на этом мы не будем останавливаться.
Функции удовлетворяющие уравнению (30.22), называются собственными функциями оператора ?, а числа L — его собственными значениями. В квантовой механике принимается, что при измерении физической величины могут получиться (с той или иной вероятностью) только собственные значения соответствующего ей оператора. Так как физические величины существенно вещественны, то операторы Г. физических величин должны быть такими, чтобы их собственные значения были также вещественными. Но мы не будем углубляться в обсуждение условий, при которых это требование выполняется.
