Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
или
: ih ^ sin ф ctg 0 COS ф
д
dq>
iy = ih{— соэф-^- -fctgd эшф-^-), (31.7)
t
z dcp
Отметим существенную разницу между классическим моментом импульса частицы [гр] и соответствующим ему квантовым оператором момента (31.3). Классический момент зависит от радиуса-вектора г, т. е. от выбора начала координат О, относительно которого берется момент импульса. Оператор момента, как видно из формул (31.7), не содержит г, а зависит только от углов О и ф. Это значит, что оператор момента (31.3) не зависит от выбора начала координат, а зависит только от направления координатных осей. Поэтому его лучше называть оператором углового или вращательного момента частицы. При рассмотрении углового момента, в отличие от классического момента импульса, не надо указывать, относительно какого начала он берегся. Разумеется, не зависят от выбора начала координат и собственные значения операторов проекций и квадрата углового момента, о которых говорится ниже.
3. Теперь поставим вопрос, может ли одна из проекций углового момента иметь определенное значение? Ясно, что если вопрос решается в положительном (или отрицательном) смысле для какой-либо одной из проекций, то он должен решаться в том же смысле и для каждой из остальных двух проекций, а также для проекции углового момента вдоль любого произвольно избранного направления. Эго непосредственно следует из изотропии пространства, т. е. из эквивалентности всех направлений в пространстве. Не могут иметь в одном и том же состоянии определенные значения проекции углового момента вдоль двух различных направлений. Избранное направление можно поэтому взять произвольно. Такое направление обычно принимают за ось Z, так как в этом случае оператор 1г выражается наиболее простой формулой. Для решения поставленного вопроса служит уравнение
Іг^ = lz\|5,
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ
193
где 1г—постоянная. Его решением является
г|з = С(г, #)ехр (г_^-ф)- (31.9)
В силу требуемой однозначности г)) эта функция должна возвращаться к своему исходному значению, когда аргумент ср получает приращение 2л, ибо такое приращение возвращает исходную точку в начальное положение. Таким образом, должно быть
ехр (г -J- ф) = ехр |г -j- (<р + 2л)|.
Так как показательная функция периодична с периодом 2лі, то это равенство может выполняться только при условии
і ± 2л = т ¦ 2лі, h
или
lz = mh, (31.10)
где т — целое положительное или отрицательное число, включая и нуль (т = 0, ±1, ±2, ...). Равенство (31.10) означает, что проекция углового момента на любое направление квантуется. Для сокращения за единицу углового момента обычно принимают постоянную Н. При таком соглашении говорят, что проекция углового момента иа избранное направление может принимать только целочисленные значения т = 0, ±1, ±2, ... Проекцию углового момента на ось Z принято обозначать через тг. Таким образом, тг — т.
Правило (31.10) по своей форме аналогично соответствующему правилу квантования момента импульса (13.6) в теории Бора. Однако между этими двумя правилами есть глубокое различие. В формуле (13.6) под L следует понимать полный момент импульса частицы (электрона), тогда как в (31.10) речь идет только об одной проекции момента импульса на какое-либо направление, а самого вектора момента импульса, как точно определенной величины, вообще не существует.
4. Нетрудно непосредственно проверить, что собственная функция оператора lz, т. е. функция (31.9), не может быть одновременно собственной функцией ни оператора їх, ни оператора 1у. Допустим противоположное, что (31.9) является собственной функцией, например, оператора 1Х. Для этой функции имеем
ix\|) = Itl ^ sin ф + im ctg ¦& COS ф С) егтф.
Этот результат не может быть представлен в виде lxty, как мы предположили (1Х — постоянное число). Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть частный случай, когда ф = 0. Тогда
1Х'ф = — ftmctgfti|).
194 ДАЛЬНЕЙШЕЙ ПОСТРОЕНИЕ КЁАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
С другой стороны, по нашему предположению должно быть
txty =
И оба эти соотношения должны соблюдаться при любых значениях угла ft, что, очевидно, невозможно. Такое же рассуждение применимо для оператора ty. Это подтверждает прежний результат, что не существует волновой функции Т, которая была бы одновременно собственной функцией операторов lx, ty, lz. Исключением является только случай, когда функция Т сферически симметрична, т. е. зависит только от г. В этом случае Т будет собственной функцией всех трех операторов їх, iy, tz, а все три проекции углового момента тх, ту, тг обратятся в нуль.
5. Второй величиной наряду с проекцией тг, характеризующей величину углового момента, является квадрат полного углового момента. Его принято обозначать через I2. Но это не есть квадрат вектора I (которого не существует), а собственное значение квадрата оператора¦ углового момента, т. е.
? = (tj + іуі + tzk)2 = tl + n + il (31.11)
Поэтому общепринятое обозначение I2 неудачно, но мы не будем его менять. Однако истинный смысл величины I2, как собственного значения квадрата оператора углового момента I2, надо постоянно иметь в виду.
