Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы убедиться, что величины I2 и mz могут быть измерены в одном и том же состоянии, надо показать, что операторы I2 и tg коммутируют друг с другом. Для этого пишем
К=(і*+ЇЇ+Ш U=U (Ш + і у (/А) + И
или в силу соотношений коммутации (31.6)
К = tx (tjx - ihly) + І у (tj, + ihlx) + il
Аналогично
¦ tj2 = (їхїг + ihly,) Іх + (ІуІг - ihtx) ty + il
Почленным вычитанием находим
І2Іг-ІгІ2 = 0, (31.12)
что и требовалось доказать. Разумеется, такое же соотношение коммутации справедливо и для операторов tx и ty.
Итак, существует состояние, в котором одновременно имеют определенные значения квадрат углового момента I2 и одна из его проекций на избранное направление. Обычно это направление принимают за ось Z.
Рассмотрим какое-либо состояние Т, в котором величины 12 и ргг (а следовательно, и от|) одновременно имеют определенные
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ
195
значения. Докажем, что в этом состоянии всегда (за исключением случая I2 = 0) I2 > т2. С этой целью рассмотрим операторное равенство
Для оператора I — 1г функция Y является собственной с собственным значением I2— т2г. То же значение имеет и соответствующая средняя величина. Поэтому, производя усреднение по формуле (30.21), получим
Но интеграл справа существенно положителен, так как он представляет среднее значение существенно положительной величины 1,Л-12у в состоянии Y. Итак,
Поэтому угловой момент не может ориентироваться точно ВД0ЛЬ оси Z. В любом состоянии он всегда содержит проекции 1Х И 1у, которые, однако, в рассматриваемом состоянии остаются неопределенными. Это — уже известный нам факт, согласно которому не существует состояния, в котором все три проекции 1Х, ly, U имеют определенные значения.
Про этот факт иногда говорят, что в собственном состоянии, где I2 имеет определенное значение, угловой момент сохраняет свою длину, равную л/l2, но его направление испытывает флуктуации. Вряд ли этот способ выражения можно признать удачным, ибо он предполагает, что существует какой-то вектор I, имеющий в каждый момент времени определенную длину и направление, но это направление беспорядочно и непрерывно меняется во времени. На самом деле, как мы видели, такого вектора не существует, а потому картина его флуктуаций не соответствует действительности.
6. Остается определить собственные значения I2 оператора квадрата углового момента I2. Это можно сделать с помощью одних только правил коммутации (31.6). Приведем сначала эти правила к другому виду, более удобному для нашей цели. Введем два оператора:
?+/_-Л J+= 2А?г, lj+ — l+tz = НІ+, lj_-tjz = -ht_. (31.15)
l2-m2z^^'(tl + ll)4dV.
(34.13)
А А А А А A
/ _|_ ----------- * |~ it У f I _ —— / Л, —1 Ц у ,
(31.14)
Тогда из (31.6) нетрудно получить
Далее
196
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
или
l2 = ij_ + ii — tdz = tj+ + ti + fiiz. (31.16)
Так как I2 есть величина ограниченная, то из (31.13) сле-
дует, что т2г, а потому и тг суть также величины ограниченные. Обозначим через / наибольшее положительное значение проекции тг при заданном значении квадрата момента I2. Пусть \Р—общая волновая функция операторов I2 и їг, причем собственное значение оператора tz равно т. В этом предположении
І?Ф = 1 2?, izW = hlW. і31.17)
Из соотношений коммутации (31.15) для такой функции получаем
tj±4 = (;ljz ± Ы±) У = А (/ ± 1) l±xY.
Отсюда видно, что. функции и являются собственными функциями оператора lz, имеющими собственные значения Ь(1-\- 1) и ti(l—1) соответственно. Но величина 1) не
может быть собственным значением оператора tz, так как по предположению наибольшее собственное значение этого оператора равно hi. Таким образом, равенство
У+? = А(/+ 1 )l+W
невозможно. Но это равенство логически следует из соотношений коммутации (31.15) и уравнения = IW. Избежать противоречия можно только тогда, когда f+Y = 0, ибо в этом случае указанное равенство, конечно, будет удовлетворено. Но из этого следует, ЧТО 1-t+W = 0, или в силу соотношения (31.16)
(i2~tl~h!z)w = 0.
Но в силу (31.17) tlW= h2l2W, hlzW = h2lW, так что
(Р - h2i2 - h2i) ч; = о,
или
№ = №(1+ 1)Y.
Значит Y есть собственная функция оператора квадрата углового момента с собственным значением
l2 = h2l(l+l). (31.18)
7. Пусть квадрат углового момента I2 имеет определенное значение /(/+ 1). Во скольких состояниях может реализоваться такая ситуация, если в них проекция т также имеет определенное значение? Очевидно, в таких состояниях т может принимать следующие значения:
in = — /і — (I — 1)> • • • > — 11 0, +1..... ~Ь (I — 1)> -Ь I,
т. е. всего таких состояний будет 2/+ 1.
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ
197
Полученные результаты, определяющие возможные значения 1г и I2, называют пространственным квантованием. Этот термин заимствован из старой теории Бора, в которой пространственное квантование определяло возможные направления вектора углового момента I в пространстве. С точки зрения квантовой механики термин «пространственное квантование» вряд ли удачен, так как «вектор» I принципиально не имеет определенных направлений в пространстве. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически на векторных диаграммах. По оси Z откладывают возможные значения т, рассматривая их как проекции вектора I длины л/і(1-{-\), имеющего дискретные направления в пространстве. В качестве
