Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
l = t ьг=\ кая диаграмма правильно
1-і L=f передает длины всех векто-
ров и их скалярные произ-Рис. 59 ведения. Но она не отра-
жает истинную квантовую природу угловых моментов, поскольку последние, имея определенные длины, не имеют определенных направлений в пространстве.
Если системы 1 и 2 не взаимодействуют и нет внешних сил, то сохраняется не только результирующий угловой момент системы L, но и оба момента L\ и Ь2. При наличии взаимодействия между системами 1 и 2 моменты Li и L2 в отдельности не сохраняются, а сохраняется только общий момент L (при отсутствии внешних сил). Если взаимодействие слабое, то по аналогии с классической механикой следует ожидать, что длины векторов L] и Ь2 при этом практически не будут изменяться. На векторной диаграмме векторы Z-i и L2 будут совершать прецессию, т. е. вращаться вокруг вектора L с одной и той же угловой скоростью. К такому же выводу приводит и последовательное квантовое рассмотрение.
1=3
§ 33. Квантование водородного атома в общем случае
1. В § 27 была рассмотрена задача о квантовании водородного (или водородоподобного) атома в предположении, что волновая функция г|з радиально симметрична, т. е. зависит только от г. В таком случае угловой момент электрона в атоме равен нулю, так как оператор момента действует только на угловые
КВАНТОВАНИЕ ВОДОРОДНОГО АТОМА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
203
переменные ft и ф, но не действует на г. Уравнение же Шредингера для стационарных состояний записывается в виде
Нг\|> = «Ч|>, (33.1)
где оператор ftr определяется выражением
+ T-w) + °V <33'2>
и описывает только радиальное квантовое движение электрона в атоме. Учтем теперь зависимость функции гр также от угловых координат ft и ф. Для этого к оператору Йг надо добавить опе-
1 ?2
ратор 2^2 г, соответствующий кинетическои энергии вращения электрона вокруг ядра:
ЇЇ = Йг + ^?г12. (33.3)
Ясно, что оператор Яг коммутирует с операторами /2 и 1г, поскольку последние не действуют на г, а действуют только на угловые переменные # и ф. То же относится к оператору (1/2тг2)/2, так как наличие множителя 1/2тг2 не отражается на такой коммутации. Следовательно, и полный оператор Я коммутирует с I2 и tz, и стационарное состояние электрона в водородном или водородоподобном атоме можно характеризовать его энергией 8, квадратом углового момента /2 и его проекцией /г на избранное направление — ось Z.
Уравнение Шредингера для Стационарных состояний теперь запишется в виде
+ <33'4> Здесь применяется частное дифференцирование по г, поскольку волновая функция гр может зависеть не только от г, но и от угловых переменных # и ф. Но какова бы ни была зависимость от О и ф, для стационарных состояний с определенным значением квадрата углового момента ?2\р = /Лр = Й2/(/ + 1 )гр. Поэтому в таких случаях
¦^- + 7-^ + Т (*Г-г/- “й^)ч>=°- <335>
Это уравнение отличается от уравнения (33.1) наличием в скобках дополнительного члена —h2l(l-\-1)/(2тг2). Формально уравнение (33.5) имеет вид уравнения Шредййгера в радиаль-но-симметричном силовом поле с потенциальной силовой функцией
204 ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
На второе слагаемое этого выражения можно смотреть как на потенциальную функцию электрона в поле центробежной силы, причем само уравнение (33.5) можно рассматривать как уравнение движения электрона во «вращающейся» системе отсчета.
Поскольку, однако, независимые переменные Ь и ср в уравнение (33.5) не входят, волновая функция г|з должна иметь вид /(#, ср)і|)(л). Во всех вычислениях функция [(¦&, ф) будет всюду входить в виде множителя, который не зависит от г, т. е. ведет себя как постоянная. Поэтому ради краткости множитель /(#, ср) мы будем всюду опускать, т. е. рассуждать так, как если бы функция гр зависела только от г. Это, очевидно, не нарушает общности рассуждений и их результатов.
2. До сих пор явный вид потенциальной функции U(г) не использовался. Имея теперь в виду водородоподобный атом, положим U(r)=—Ze2/r и введем такие же обозначения, как в § 27, т. е.
|}2 = _2 mff, q = 2m.Ze2lh2. (33.6)
Тогда уравнение (33.5) запишется в виде
1F-+T ^Г+(т= (33.7)
Для его исследования применяем такой же метод, что и для исследования уравнения (27.1), т. е. вводим новую функцию и(г) с помощью соотношения
г|з = (33.8)
Тогда
-g--2p^ + [f~ (33.9)
Ищем решение этого уравнения в виде ряда
оо
u = Hakrk (33.10)
k —у
и путем сравнения коэффициентов находим
Y(v-!)-/(/+ D = 0,
[k(k+ 1) — /(/+ l)]a*+i = (2pfc — q)ak при кфу.
Из первого уравнения получается либо у = / + 1, либо у = —/. Значение 7 = —I должно быть отброшено по тем же соображениям, которые применялись при решении аналогичного вопроса в § 27. Таким образом, следует воспользоваться значением
у = I -|- 1.
Для исследования сходимости ряда (33.10) из формулы
(33.11) находим
ak+\ 2 $k — q
ak ~~ k(k +!)-/(/+ 1) •
§ 33) КВАНТОВАНИЕ ВОДОРОДНОГО АТОМА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
205
Асимптотически
flfe+1 Clfr k \
Это выражение в точности совпадает с соответствующим выражением из § 27. Поэтому, как и раньше, заключаем, что ряд
(33.10) должен обрываться. Из условия обрыва получаем прежнюю формулу (27.8) для энергии атома:
