Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика" -> 85

Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика — Физматлит, 1986. — 426 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykursfizikit5chast1atomnayafizika1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 179 >> Следующая

Рис. 58
примера на рис. 58 приведены векторные диаграммы для случаев I = 1 и 1 — 2 (за единицу углового момента принята постоянная Планка h). Эти диаграммы нельзя понимать букваль но. Они правильно передают только два факта: возможные значения проекции т и возможные значения квадрата углового момента I2.
Квантовое число I по причинам, которые выяснятся ниже, называют орбитальным квантовым числом, а число m — магнитным квантовым числом.
8. В классической механике кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется формулой
8 = t2/2I,
где / — момент инерции тела относительно соответствующей оси вращения. Такая же формула справедлива и в квантовой механике. Различие состоит в том, что здесь величина I2 квантуется, принимая дискретные значения l2 = h2l(l-{- 1). Неизменяемая вращающаяся система в квантовой механике называется ротатором. Таким образом, энергетические уровни ротатора дискретны и определяются формулой
Л2
198
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
Такой формулой мы уже пользовались при качественном рассмотрении вращательной теплоемкости молекул (см. т. II, § 69).
Впрочем, необходимо заметить, что идеализированное представление о ротаторе, как и представление об идеально твердом теле, несовместимо с принципом неопределенностей Гейзенберга. В самом деле, в модели идеально твердого тела его размеры в любом направлении (например, в направлении оси X) строго определены и не могут меняться во времени, т. е. неопределенность координаты Ах = 0. Но тогда для импульса в том же направлении из соотношения неопределенностей следует, что Дрх — оо. В теле неизбежно возникнут колебания, меняющие величину момента инерции /. Например, вращающуюся молекулу можно для некоторых целей рассматривать как жесткий ротатор и пользоваться формулой (31.19), если изменения /, связанные с вращением, невелики.
§ 32. Сложение угловых моментов
1. Понятие углового момента можно распространить и на системы частиц. Ради простоты будем предполагать, что система состоит только из двух частиц: 1 и 2. Координаты (ра-диус-вектор) первой частицы обозначим через гь второй — через г2. Оператором углового момента I системы называют сумму операторов угловых моментов ее частей 1\ и 12:
l = fi + f2. (32.1)
Так же определяется и оператор проекции углового момента системы на избранное направление. Например,
lz = Uz + Uz. (32.2)
Будем предполагать, что частицы не взаимодействуют между собой. Тогда волновая функция первой частицы Ч*, (rj) будет одна и та же независимо от того, есть вторая частица или нет. Эту функцию можно умножить на произвольную постоянную, которая может зависеть от г2 как от параметра. В частности, за нее можно принять волновую функцию ^(гг) второй частицы. Тогда волновая функция первой частицы представится произведением Ч* = Ч1-! (r1)4f2(r2). Но очевидно из тех же соображений, что в таком же виде представится и волновая функция второй частицы. Поэтому 4f = 4fi4f2 можно рассматривать как волновую функцию системы невзаимодействующих частиц 1 и 2. При этом для нее будет сохранена нормировка
J | Ч' |2dVl dV2= ^ I ЧГ1 fdVi ^ | ЧГ212dV2 = 1. (32.3)
2. Если ограничиться действием операторов только на Функцию Чг = ЧГ1ЧГ2, то из доказанного следует, что операторы ti и U
СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
199
перестановочны. В самом деле, поскольку оператор 1\ действует только на функцию Yi и не действует на функцию Ч^, а оператор 12, наоборот, действует только на Чг2 и не действует на Чгі, можно написать
iihv = М2 №чу=и (ум) = (№) (М = (М (№)¦
К тому же результату приводит и действие оператора Ul\- Значит, для функций вида Y = 4fi4f2 справедливо операторное равенство 1\12 = *2*1> что и доказывает наше утверждение. Таким же путем докажем для функций того же вида и перестановочность операторов проекций углового момента в случае системы независимых частиц, например 1\х и 12х. Из доказанного следует, что правила коммутации (31.6) и все следствия из них для отдельной частицы распространяются без всяких изменений и на системы независимых частиц.
Ввиду коммутации операторов 1\ и 12 оператор квадрата углового момента I2 будет равен
І2 = (І, + t2)2 = /? + 2 (М2) + % (32.4)
Теперь выясним, как коммутирует оператор квадрата углового момента t2 = l2xl2yII с оператором одной из проекций его, например 1Х — 1\х + 12х. Очевидно, операторы 1\х и 12х коммутируют с 1\ и с Ц. Остается только проверить коммутативность операторов 1\12 и 1Х. Имеем
(М2Н* = tflxhx -\~?1$2у + h^2z) (Пх + І2х) =
= (tlхІ2х + tl^2y -{-іігІ2г)ііх + (ііхІ2х + hi/І2у + tizt2z) І2х•
Аналогично
A/А АЧ Ф / ? ? ^ “ї Iі 4 \ І1 /«'і' 'S' А * ? \
їх \1\І2) =1\Х VIХІ2Х "Ь hyl2y + hzhz) + hx {t Ixhx + hyhy + Uzhz)'
Если воспользоваться правилами коммутации (31.6) и тем обстоятельством, что операторы и 12 действуют на волновые функции разных частиц, то последнее выражение легко привести к предыдущему. Итак, оператор I2 = (t\12)2 коммутирует с операторами проекций I на любое направление. Поэтому существует состояние системы, в котором I2 и одна из проекций на любое направление имеют определенные значения.
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed