Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
<S = ~ mZ2e4/{2h2n2). (33.12)
3. Из изложенного следует, что значения энергии в стационарных состояниях водородоподобного атома зависят только от главного квантового числа п. Но состояния с заданным п (т. е. с заданной энергией <§) могут отличаться одно от другого различными значениями квантовых чисел I и т (не путать с массой). Таким образом, одному и тому же значению & соответствуют несколько различных квантовых состояний. В этом случае говорят, что состояние с энергией § вырождено. Энергетический уровень <В называют такЖё вырожденным.
Число независимых состояний, суперпозицией которых может быть получено заданное состояние с энергией &, называется степенью или кратностью вырождения. Найдем степень вырождения для водородоподобного атома в состоянии с заданным главным квантовым числом п.
Рассмотрим сначала состояния, в которых (наряду с п) имеет определенное значение и число I. Воспользуемся формулой у = /+ 1, которая до сих пор еще не принималась во внимание. Имея в виду, что ряд (33.10) должен обрываться на члене п-й степени, запишем его в виде конечной суммы:
п a=n-l-1
« = ? акГк ~ rl+l ? ai+a+lra. (33.13)
k = l+1 а=>0
Отсюда видно, что главное квантовое число п имеет смысл старшего показателя степени в полиноме (33.13). Число I называется орбитальным квантовым числом. Оно определяет квадрат углового момента,
/2 = /(/+ 1) (в единицах Н2).
Фиксируя п, подсчитаем число квантовых состояний, отличающихся одно от другого значениями I. Наименьшее значение I есть / = 0, наибольшее / — п— 1, так как в этом случае сумма (33.13) сводится к одному члену. Следовательно, при заданном п число / может принимать значения
1 = 0, 1, 2, ..., (п- 1), (33.14)
т. е. всего п значений и соответствующих им квантовых состояний с определенными п и I. Функция и, как видно из (33.13),
206
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. V
имеет пг = п — /—1 узлов, если исключить из рассмотрения узел г = 0. Но число узлов, как известно (см. § 25, пункт 1), определяет номер волновой функции с заданным п. Поэтому главное квантовое число п можно также определить соотношением
п = пг -)- I + 1. (33.15)
Квантовое число пг было введено еще Зоммерфельдом в старой квантовой теории и получило название радиального квантового числа.
Заметим теперь, что в состоянии с определенным / может иметь различные значения квантовое число т, определяющее проекцию углового момента на ось Z (оно называется магнитным). Именно:
m = — I, — (I ~ I), ... , -1, 0, +1........+(/-1), +/, (33.16)
т. е. всего 21 + 1 значений. Поэтому полное число квантовых состояний, с помощью которых может реализоваться состояние с заданным п, равно
1=п-1
N= ? (21+\) = п2. (33.17)
z=o
В действительности, как будет показано в § 36, это число следует удвоить из-за наличия спина электрона. Таким образом, кратность вырождения энергетического уровня в водородоподобном атоме равна 2п2.
§ 34. Энергетические уровни и спектральные серии щелочных металлов
1. В атомах щелочных металлов (литий, натрий, калий, рубидий, цезий) электронная оболочка содержит один наружный (валентный) электрон, сравнительно слабо связанный с ядром атома. То же относится к ионизованным атомам, если только
они содержат по одному наружному (валентному) электрону
(однократно ионизованный атом гелия, двукратно ионизованный атом лития, трехкратно ионизованный атом бериллия и т. д.). Переходы между энергетическими уровнями валентного электрона сопровождаются излучением или поглощением квантов сравнительно низких частот — из оптической области спектра. Остальные Z—1 электронов (Z — заряд ядра, выраженный в элементарных зарядах) вместе с ядром образуют сравнительно прочный остов, в электрическом поле которого движется валентный электрон. Изменения энергии квантовых уровней остова сравнительно велики и порождают рентгеновские спектры. Этот вопрос здесь рассматриваться не будет. Мы сосредоточим вни-машге только на излучений й поглощении света, связанных с поведением валентного электрона.
спектральные СЕРИИ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ
207
При такой постановке вопроса атом щелочного металла может рассматриваться как одноэлектронный атвм, в котерем роль ядра играет указанный остов. Последний можно характеризовать каким-то эффективным зарядом Zae. Для нейтрального атома Za = Z— 1, для однократно ионизованного Za = Z— 2, для двукратно ионизованного Za = Z — 3 и т. д. Если удалить валентный электрон, то распределение электрических зарядов в остове и его электрическое поле сделаются сферически симметричными.
2. Стационарные состояния валентного электрона в таком поле определяются теми же тремя квантовыми числами, что и в атоме водорода, а именно главным квантовым числом п, орбитальным квантовым числом I и магнитным квантовым числом т. Квантовое число I определяет квадрат углового момента электрона
/2 = А*/(/+ 1),
магнитное число т определяет проекцию углового момента на избранное направление, обычно принимаемое за ось Z:
тг = lzmh.
При заданном I число т может принимать 21 -+- 1 значений, а именно
т = -1, -(/- 1), ... , -1, 0, +1, ... , (/- 1), I.
