Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
f 32 33 \ п
') Например, из равенства (^-^2-) х ~ не слелУет. что —
д*
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ
189
ибо операторы х и ру ——itid/dy коммутируют, поскольку при дифференцировании по у координата х ведет себя как посто янная.
§ 31. Момент импульса частицы
1. Момент импульса часгицы I относительно начала коорди нат О в классической механике определяется векторным произведением \rp\. Т акое определение в квантовой механике не имеет смысла, поскольку не существует состояния, в котором бы
оба вектора г и р имели определенные значения. В квантовой
механике векторному произведению \гр] соответствует оператор
l = \rv\ 31.1
Раскрывая это векторное произведение и соблюдая при этом порядок расположения операторов координат и проекций вектора импульса, найдем операторы проекций момента импульса на координатные оси X, У, Z:
U = (УРг - ёру) = ih(z-Jj- — У - Jj-) ,
Iу = арх — xpz) = iti — z , (31.2)
U=(хрУ — op*) = ih{y-j^~xin[)-
Через эти проекции сам оператор вектора момента импульса выражается формулой
i — (31.3)
Смысл этого векторного оператора выяснится, если написать результат действия его на произвольную функцию г|з. Это есть
h = * (їл) + І (tyty) + k {31.4)
т. е. вектор с составляющими 1Х\|з, ty\|з и 1г\|з. Таким образом, произвольной волновой функции гр соответствует вектор, определяемый выражением (31.4). Возникает, однако, вопрос, существует ли такая функция г|з, для которой все три проекции вектора
(31.4) имеют определенные значения, т, е. одновременно выполняются все три равенства:
= ty\\) = ly1p, = (31.5)
Для ответа на этот вопрос надо найти правила коммутации
операторов їх, ty, /г- Перемножая операторы 1К и 1У и сохраняя
190
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
порядок их расположения, получим
fc2 ( д о д д д д . д д \
~ V2 ду х 1)7 У дг Х дг ~~ Z ~ду Z ИГ У ~дг 2 ~дх ) —
( д2 дс 2 д'г . д‘ . д \ = -й'{zx-didl~yx~d^~z1їдї + У2^Ш + Уж)-
Аналогично
it ь.2 ( д2 7д2. д2 . д \
Операции дифференцирования но двум независимым переменным перестановочны, т. е„ например, д2/дх ду = д2/ду дх. Поэтому почленным вычитанием предыдущил равенств получим
ijy - tj, = -#(уА--х-§^) = mz
Аналогично получаются и два остальных правила коммутации. Итак,
і ylz / zl у і hi х ,
Ux — hh — ihiy, (31.6;
^ x^ у ^ y^ X і hi г-
Таким образом, любые две проекции оператора момента не коммутируют между собой. Поэтому не существуеі состояния, в котором бы все три и даже какие-либо две из трех проекций lx, ly, U имели определенные значения (см § 30, пункт 7). Исключением является только случай, когда все три проекции одновременно равны нулю. Значит не существует состояния, в котором бы и сам вектор момента импульса имел определенное значение, т. е. был бы полностью определен как по величине, так и по направлению. Иными словами, оператор момента 1 не имеет собственных функций и соответствующих им векторных собственных значений. Связь векторного оператора момента с реальной действительностью в общем виде устанавливается статистически— с помощью формулы (30.21), которая позволяет находить средние значения, получаемые при измерении самого момента импульса, а не соответствующего ему оператора.
2. Какими же физическими величинами (а не их операторами) характеризуется в квантовой механике момент импульса частицы? Для решения этого вопроса выразим прежде всего операторы проекций момента импульса через сферические (полярные) координаты. Вопрос этот может быть просто решен аналитически. Но аналитическое решение довольно громоздко. Мы предпочитаем привести геометрическое решение. Начало коор-
311
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ
191
динат прямоугольной XYZ и сферической систем координат поместим в общей точке О (рис. 57). В сферических координатах положение точки А характеризуется расстоянием ее г от точки О и двумя углами ¦& (полярный угол) и ср (азимут). В точке А проведем касательную АВ к меридиану ZAN и касательную АС к соответствующей параллели.
Введем вспомогательную прямоугольную систему коорди-
Но, как видно из рис. 57, dl = rdft (при постоянных г и ті), dx\ = г sin & dtp (при постоянных г и |). Поэтому
Теперь легко перейти к исходной прямоугольной системе координат XYZ, пользуясь обычным правилом преобразования проекций вектора. Применимость такого правила к операторам обусловлена тем, что направляющие косинусы, определяющие расположение координатных систем XYZ и относительно друг друга, следует рассматривать как величины постоянные, на которые операторы д/дд- и д/дц не действуют. Запишем нужные направляющие косинусы в виде таблицы:
нат |т? с осями 0| и Оті, параллельными соответственно АВ и АС, и осью 0?, направленной вдоль радиуса ОА. Предполагая, что (классическая) частица находится в точке А, получаем для нее ? = = л = 0, ? = г. Поэтому, заменяя в формулах (31.2) х, у, г на I, г], ?, можем написать
У
N
Рис. 57
X cos © cos ф —sin ф
Y cos ф sin ф cos ф
Z
—sin -ft
0
192
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. V
Тогда
їх = h cos Ф cos ф — ln sin ф, їу = cos ¦& sin ф + їп cos ф, lz = — її sin 0,
