Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (30.22) является обобщением на случай любых физических величин правила квантования энергии, рассмотренного в предыдущей главе. Чтобы убедиться в этом, найдем оператор Я, соответствующий полной энергии частицы. Согласно изложенному такой оператор представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергий, т. е.
й = + ° = + <30-23> Следовательно, (30.22) переходит в (—+
Это уравнение Шредингера (21.7) для стационарных состояний. Таким образом, сокращенно его можно записать в символической форме
(30.24)
отличающейся от (30.22) только обозначениями. Общее уравнение Шредингера (21.5) для нестационарных состояний также можно записать символически:
ih~ = HW. (30.25)
Для полноты заметим, что уравнение (30.25) справедливо не только в случае потенциальных сил, но и в случае, когда силы потенциалом не обладают (например, магнитные силы). Требуется только, чтобы соответствующие классические уравнения могли быть записаны в форме уравнений Гамильтона. В этом случае Й называют оператором Гамильтона или гамильтонианом. Если силы потенциальны, то гамильтониан тождественно совпадает с оператором энергии.
Приведем второй пример на применение уравнения (30.22). Найдем собственные функции и собственные значения оператора импульса. Ограничиваясь одномерным случаем, положим
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
187
L — р — —і% д/дх и получим
Отсюда
Чг = С {t) eipxlh = С {і) еікх.
Чтобы удовлетворить общему уравнению Шредингера (30.25), следует положить С(t) = Се~ІШІ, т. е.
= (30.26)
Таким образом, собственными функциями оператора импульса являются плоские волны де Бройля. Параметр р может принимать любые значения, т. е. спектр собственных значений оператора р непрерывный.
В связи с этим заметим, что к уравнению (30.22) мы пришли на основе уравнения (30.21). Наш вывод последнего предполагал выполнение условия нормировки (30.20), т. е. обращения функции 4" в нуль на бесконечности. Собственные функции (30.26) этому условию не удовлетворяют. Да и в случае оператора энергии при сГ > 0 собственные значения образуют непрерывный спектр, и нормировка (30.20) не может быть выполнена. В этих случаях наше доказательство формулы (30.22) не проходит. Однако сама Формула (30.22) остается верной. Можно так обобщить нормировку (30.20), чтобы распространить доказательство и на такие случаи. Но для этого надо пользоваться обобщенными функциями. На этом формальном вопросе мы останавливаться не будем. В физике в принципе достаточно ограничиться волновыми функциями, обращающимися в нуль на бесконечности, для которых нормировка (30.20) всегда выполняется.
7. Остановимся в заключение еще на одном вопросе, специфическом только для квантовой, но не классической механики. Пусть Л и В— два квантовомеханических оператора, каждому из которых соответствует свой спектр собственных значений. Всегда ли существует состояние 'F, в котором оба оператора имеют определенные собственные значения А и В? Иными словами, существует ли состояние Ч', в котором обе величины А и В измеримы одновременно? Для ответа на этот вопрос допустим, что Ч^я явтяется собственной функцией как оператора Л, так и оператора В, т. е.
Л^ = ЛЛ'П, BWn^BnWn,
где Ап и Вп — числа, представляющие собой собственные значения операторов Л и В в одном и том же состоянии Ч1-,,. Умножим первое равенство слева на оператор В Получим
ВАЧп = BAnWa = АпВЧп = АаВпЧп.
188
ДАЛЬНЕЙШЕЕ построение КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. V
Аналогично
Ша = ВаАаЧп.
Отсюда (АВ— ВЛ)Чгга = 0. На этом основании нельзя еще заключить, что АВ — ВА — 0, так как — не произвольная функция, а лишь одна из общих собственных функций операторов А и В ').
Допустим, однако, что каждая собственная функция оператора А является также собственной функцией оператора В и наоборот. Существует математическая теорема, которую мы доказывать не будем, что произвольная волновая функция lF может быть разложена по собственным функциям оператора А (или, что то же самое, оператора В), т. е.
(предполагается, что спектр дискретный, что несущественно). Из этой формулы и из соотношения (АВ — 8А )Ч/^ = 0 следует
(АВ- BA)W = 0.
Теперь уже ввиду произвольности V можно заключить, что
АВ = ВА, (30.27)
т. е. операторы А и В коммутативны. Действительно, единственный оператор, обращающий в нуль произвольную функцию, есть оператор умножения на нуль.
Итак, если все собственные функции операторов А и В совпадают', то эти операторы коммутируют. Справедлива и обратная теорема: если операторы А и В коммутируют, то совпадают и их собственные функции. Эту теорему мы также примем без доказательства.
Приведенной теореме можно придать и другую формулировку. Две величины А и В измеримы одновременно, вообще говоря, тогда и только тогда, когда соответствующие им операторы А и В коммутируют. Это правило может нарушаться только в отдельных исключительных случаях (см. § 31, пункты 1 и 4).
Например, координаты х и у можно измерить одновременно, так как операторы х и (/ коммутируют. Напротив, координата х и соответствующий ей импульс рх одновременно измерены быть не могут, поскольку операторы # и рх не коммутируют, как это видно из формулы (30.1). Именно этого требует принцип неопределенностей Гейзенберга. Координата х и импульс ру, соответствующий другой координате у, измеримы одновременно,
