Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
12. Мы рассмотрели потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 52). Это было сделано только с целью математического упрощения задачи. Ничего принципиального при этом потеряно не было. Для полноты рассмотрим теперь потенциальный барьер, в котором U является произвольной функцией х. Пример такого барьера приведен на рис. 53. Горизонтальная
прямая U{x) = & пересекает кривую барьера в двух точка, с абсциссами хх и х2. Аппроксимируем кривую барьера над этой прямой ступенчатой линией. Тогда вся площадь, где 8 <.11, разобьется на заштрихованные прямоугольники, каждый из которых можно рассматривать как прямоугольный потенциальный барьер. Пусть ширина одного из таких прямоугольников равна dx, а высота U(x). Если dx взять достаточно большим, то коэффициент пропускания такого прямоугольного барьера представится выражением
D;exp[--^p л/Ъп{и-8)\.
Коэффициент пропускания всего барьера получится путем перемножения выражений такого вида. При этом показатели степеней сложатся, и мы придем к выражению вида
*! "j
— \^^2m{U — S)dx\. (28.17)
Х\ '
Эту приближенную формулу можно обосновать и математически более строго.
Туннельным прохождением через потенциальный барьер объясняются многие физические явления. Сюда относятся разбираемые в следующем параграфе контактная разность потенциалов и холодная эмиссия электронов из металлов. Сюда же относятся такие явления, как а-распад, спонтанное деление атомных ядер, ядерные реакции, когда по классическим представлениям кинетической энергии сталкивающихся ядер недо-
D = D0qx р‘
174
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
ГГЛ IV
статочно для преодоления кулоновского потенциального барьера между ними, и т. д. Эти явления будут разобраны в ядерной физике.
ЗАДАЧА
В прямоугольном барьере (или яме) U\ = U3. При каком условии частица не будет отражаться от потенциального барьера (ямы) ?
Ответ. Полная энергия <§ должна быть больше потенциальной энергии U частицы внутри барьера (ямы). Толщина барьера (ямы) должна быть I = = 'UK 3/А, 5/Д, ..., где к — hiУ2т (S — U) — длина волны де Бройля внутри барьера (ямы).
§ 29. К объяснению контактной разности потенциалов.
Холодная эмиссия электронов из металлов
1. Будем исходить из простейшей модели металла — модели свободных электронов. Согласно этой модели электроны в металле ведут себя как газ невзаимодействующих частиц, движущихся в свободном от поля пространстве. Электроны удерживаются в металле силами отталкивания, возникающими при приближении электронов к стенке металла. В такой модели металл можно рассматривать как потенциальную яму, в которой заперты электроны. Для простоты будем считать яму прямоугольной определенной глубины. Мы не можем дать удовлетворительное обоснование и указать границы применимости такой модели. Особое удивление вызывает то, что электрические силы взаимодействия между электронами не учитываются, хотя они отнюдь не малы. Возможность отвлекаться от таких сил, по-видимому, связана с тем, что взаимодействие между электронами не меняет числа энергетических уровней системы. Последнее определяется только общим числом электронов, а не силами взаимодействия между ними. Для ряда явлений, по крайней мере при их качественном рассмотрении, существенно именно общее число энергетических уровней, а не их точное расположение. Разумеется, как и всякая модель, модель свободных ____________________электронов объясняет отнюдь не все свойства металлов. Однако ряд явлений объясняется этой моделью правильно, по крайней §5 мере качественно.
Д На рис. 54 представлена модель металла в виде прямоугольной потенциальной ямы. Внутри металла (т. е. на дне потенциальной ямы) потенциальная функция принята равной нулю, на стенках ямы она скачкообразно меняется до постоянного значения Uо > 0. Конечно, энергетические уровни электрона внутри ямы дискретны, хотя в макроскопических кусках металла и расположены очень густо. Собственно говоря, нельзя сказать,
1'
—
'
• Металл Рис. 54
КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ И ХОЛОДНАЯ ЭМИССИЯ
175
что в модели свободных электронов между электронами нет никакого взаимодействия. Оно имеется. Но это не есть силовое взаимодействие, а взаимодействие особого рода, которое не может быть понято в рамках классической механики. О нем подробно говорится в гл. VI. Такое взаимодействие проявляется в том, что в каждом квантовом состоянии системы может находиться не более одного электрона. Это положение называется принципом Паули (1900—1958). Под квантовым состоянием в рассматриваемом нами вопросе следует понимать энергетический уровень электрона (с одним уточнением: допустимое число электронов на энергетическом уровне должно быть удвоено из-за наличия у них спина; но это обстоятельство в разбираемых сейчас вопросах не играет роли, и мы его учитывать не будем).
Будем теперь последовательно заполнять потенциальную яму электронами в предположении, что температура системы равна абсолютному нулю. Первый электрон займет самый нижний (нулевой) уровень энергии. Второй электрон расположится на втором энергетическом уровне и т. д. Последний электрон соответствует такому состоянию металла, когда он сделается электрически нейтральным. Этот электрон займет наивысший уровень энергии jii, называемый уровнем или энергией Ферми (1901 —1954). Таким образом, ниже уровня Ферми все энергетические уровни потенциальной ямы заполнены, а выше — свободны. Напомним, что при этом температура металла предполагается равной абсолютному нулю. Чтобы удалить электрон из металла с уровня Ферми, необходимо затратить работу, не меньшую
