Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(х) — jj x4rxY dx,
ибо ЧГ*'Р dx есть вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале х, к -f- dx. При этом необходимо оговорить, что функция всюду конечна, отлична от нуля в ограниченной
области пространства и нормирована к единице, т. е.
J W dx= 1,
(30.2)
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
181
где интегрирование производится по всему пространству, в котором 'F отлична от нуля. Выражение для среднего значения {х} мы предпочитаем записать в виде
(Х}= IjTWrfjc. (30.3)
Совершенно гак же вычисляется среднее значение функции f(x), т. е. по формуле
(і (X)) = J W* (х) f (х) W (х) dx, (30.4)
в которой f(x) рассматривается как оператор.
Если состояние W меняется во времени, то формула (30.4) дает среднее значение для определенного момента времени. В этом случае в функции ^(л:, t) следует время t рассматривать как параметр, т. е. при взятии интеграла его следует считать постоянным.
3. Как же вычислять по волновой функции ^(х) средние значения импульса частицы или средние значения целых рациональных функций от импульса? Будем предполагать, что в каждый момент времени функция 'F(x) всюду конечна и отлична от нуля в ограниченной области пространства, а потому может быть нормирована согласно формуле (30.2). В целях математического упрощения применим искусственный прием. Заменим истинную волновую функцию ^(л:) другой периодической функцией Ф(х) с периодом I, так что при любом х Ф(х + /) = = Ф(л:). Функция ^(л:) отлична от нуля только на небольшом участке где-то в середине интервала 0 < х < I (основного периода). В этом интервале обе функции 'F(jc) и Ф(х) совпадают. Вне интервала 0 <х</ функция Ч1- (jc ) обращается в нуль. Поэтому из нормировки (30.2) следует нормировка для функции Ф(х): ^
^ Ф'(х,Ф(х)йх= 1 (30.5)
о
Указанная замена не можег существенно отразиться на явлениях, протекающих в рассматриваемое время в рассматриваемой нами области пространства. Действительно, различие между функциями Ф(х) и lF(x) относится только к достаточно удаленным областям пространства, которые не могут оказать существенное влияние на протекание изучаемого нами явления. В пределе, когда /->- оо, небольшие искажения явлений, вызванные заменой 'F на Ф, совсем исчезают.
Периодическую функцию Ф(х) разложим в ряд Фурье:
П = + оо
ф(*)= Z СпЄікп\ (30.6)
п=» -ОО
182
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПОСТРОЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГГЛ V
где
кп = (2пЦ)п (30.7)
Чтобы определить коэффициент ст этого ряда, надо обе части
(30.6) умножить на е~1ктХ и проинтегрировать по х от 0 до /. При этом
} ( I, если п = т,
Се'(*».- m)*dx = \ J Ч*я-*т)*|' л
,, ( -пт------тгге =0, если пфт,
0 I (kn — k,n) І0
так как
е1(кп-кт)1 ==е^(а-т)== 1 =е0_
С учетом этого получаем
і і
ст = ]-\)Ф{х)е~ік^ dx = -j- (30.8)
0 0
С учетом того же условия нормировка приводится к виду
I I rt = + ОО
J ФЧ> dx = J VY d* = / ]Г I C„ P = 1. (30.9)
0 0 n = — oo
Выведем еще одну вспомогательную формулу. Имеем
І Ф’ Ш Ф dX = \ Е Е C'mCn^lkmX-k^nX d* =
О О т п
I
1 \ ЕЕ СтСпКеЦкп km)Xdx,
О т п
или после перестановки порядка суммирования и интегрирования
\<S>'-^(I>dx = iYJ'ZCmCnkn\ei( П ^ dx-
О т п О
Входящий сюда интеграл уже был вычислен выше. Воспользовавшись вычисленным значением, получим
і
-i^Q>t-^Q>dx = lYJ\Cn?kn. (30.10)
о
4. До сих пор мы не обращали внимания на зависимость функции f, а с ней и функции Ф, от времени t. Наши вычисления, в сущности, относились к функциям W(a:, t) и Ф(х, t) при фиксированном значении t, — время t рассматривалось как па-
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
183
раметр. Временная зависимость определится из требования, чтобы функции Тиф удовлетворяли временному уравнению Шредингера (21.5). Такому условию удовлетворяет функция
ф(х, = (30.11)
П
где частоты со» определяются законом дисперсии ып = an(kn) по формуле (19.6). Этот ряд представляет собой разложение функции Ф(х, t) по плоским волнам де Бройля1).
Волне де Бройля е‘(л"х u'nt) соответствует импульс pn = tikn. Значения импульса дискретны. Но эта дискретность искусственная и получилась в результате замены истинной волновой функции t) на вспомогательную периодическую функцию Ф(.ї, t). Истинные значения импульса непрерывны. И действительно, чем длиннее взять период /, тем меньше расстояние между соседними значениями дискретного спектра импульса. В пределе,
когда / —>¦ со, это расстояние стремится к нулю, так что факти-
чески импульс становится величиной, меняющейся непрерывно. Измерение импульса в состоянии Ф(х, /) дает одно из значений рп. Вероятность этого значения, в силу условия нормировки
(30.9), равна /|с„|2. Поэтому среднее значение импульса, которое получится в результате измерения, будет равно
(Р/= Е Л СП ?Рп> (30.12)
или в силу соотношения (30.10)
I
<р)= $Ф*( — t'ft ^-)фdx.
о
Теперь можно выполнить предельный переход к / —*¦ ОО и получить формулу
<р>= (30.13)
в которой всякая неопределенность, связанная с введением вспомогательной функции Ф, исчезла. При -этом интегрирование распространяется уже по всему бесконечному пространству, так как большие значения х не вносят никакого вклада в интеграл.
