Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
4. При сравнении квантовомеханического решения с классическим рассмотрим сначала случай <% U2. В этом случае все
три волны — падающая, отраженная и прошедшая — однород-
166
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
ны. Отличие квантового случая от классического состоит прежде всего в том, что в классическом случае нет отраженного потока частиц. В1 квантовом же случае неизбежно появляется отраженная волна, а с ней и вероятность обнаружить частицу, движущуюся навстречу падающему потоку. Для однородной волны можно ввести понятие плотности вероятности потока вещества. В самом деле, однородный поток не локализован, он характеризуется определенной плотностью импульса, тогда как его координата совершенно не определена. Можно говорить и о скорости распространения вероятности такого потока. Она просто совпадает с классической скоростью и равна и — p/m — hk/m. Наконец, плотность вероятности потока массы вещества равна туг|з*г|з = hk^*\р. В падающей волне эта величина равна = hky Аналогично, плотности вероятности потока вещества в отраженной и прошедшей волнах равны соответственно \r\2hk] и \d\2hk2. Отношение плотности вероятности потока массы в отраженной волне к плотности вероятности потока массы в падающей волне называется коэффициентом отражения частицы R. Аналогично определяется коэффициент пропускания частицы D. Он называется также пропускаемостью или прозрачностью барьера. Для этих величин находим
я=н2=
*1
k\ + k<2
(28'5)
так что RD — 1, в согласии с законом сохранения вещества.
5. Обратимся теперь к случаю, когда <S < U2. В этом случае формулы (28.4), конечно, также остаются справедливыми. Остается справедливой и первая формула (28.5), поскольку отраженная волна по-прежнему однородна. Однако величина k2 будет чисто мнимой, так что волна во второй области станет неоднородной. В первой же формуле (28.5) числитель и знаменатель будут величинами комплексно сопряженными. Значит, R— 1, т. е. отражение частиц становится полным, как и в аналогичном случае в оптике. Однако волна во второй области не исчезает. Действительно, полагая k2 = га, для этой волны получаем
¦ф-2 = krih е~аХе^Ш' (28 6)
т. е. амплитуда волны в области II экспоненциально затухает
при удалении от границы раздела областей. Глубина проникно-
вения I определяется как расстояние, на котором плотность вероятности потока вещества убывает в е раз. Для нее получаем
/= l/2a = V4it, (28.7)
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ
167
Таким образом, волна проникает в область II, несмотря на го, что она отражается полностью, а вероятность отражения частицы обращается в единицу. Разрешение возникающего здесь кажущегося парадокса в точности такое же, как и в. случае полного отражения света (см. т. IV, § 66). Наше решение относится к стационарному состоянию, поскольку оно основано на уравнении Шредингера именно для таких состояний. Проникновение же волны во вторую область происходит в переходный период, когда состояние во времени еще не установилось. В этот переходный период полного отражения волны еще не может быть. Исследование же переходного периода может быть осуществлено на основе уравнения Шредингера, но уже дчя нестационарных состояний (21.5).
6. Подчеркнем еще раз, что в найденном нами стационарном
состоянии, описываемом тремя волновыми функциями "ф,, Ф;,,
частица не локализована. Она может с той или иной вероятностью находиться в любой точке пространства. Общим для всего этого состояния является параметр Ж, названный нами полной энергией частицы. Следует с осторожностью отождествлять это понятие с полной энергией, как она понимается в классической механике. Так, мы уже указывали, что в квантовой механике не всегда имеет смысл деление полной энергии на кинетическую и потенциальную (см. § 20, пункт 8). Чтобы определить параметр Ж, надо произвести измерение, т. е. как-то воздействовать на частицу.
7. Рассмотрим сначала состояние частицы в части пространства I. Оно представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн и распространяющихся навстречу друг другу. Их волновые числа имеют определенные значения, одинаковые по величине. Поэтому одинаковы по величине и импульсы, соответствующие обеим волнам. Измеряя импульс, когда частица находится в части пространства /, мы найдем, что он с той или иной вероятностью равен либо р\ = tik\, либо р\ — — bkv Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга определенность импульса в каждой волне связана с тем, что частица не локализована. Действительно, неопределенность координаты Ал: бесконечно велика, и потому, согласно соотношению (20.2), неопределенность импульса Ар для каждой волны обращается в нуль. Учитывая соотношение р — tik, формулу (28.3) можно переписать в виде
+ <28'9> т. е. Ж, как и в классической механике, равна сумме кинетической и потенциальной энергии. Такое совпадение с классической механикой обусловлено тем, что потенциальная функция U\ во
168
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. КВАНТОВАНИЕ
[ГЛ. IV
всем пространстве / постоянна, т. е. это пространство свободно от сил. К тому же результату мы придем и в пространстве //, если только в этом пространстве 8 > U2, и, следовательно, волна однородна.
