Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
D = "2 Dme~^x * [р=~\ (52.3)
т — — со
Поэтому
in = -j-co
Ev^ = DEfx=* Z AD*х + тр)Х]- (52Л)
т = — оо ^
На это соотношение надо смотреть как на граничное условие, которому должно удовлетворять за решеткой решение уравнения (52.2). Частным решением этого уравнения является плоская волна E = = аё ^t- чг\ волновой вектор q которой удовлетворяет условию q2 = k2. Он может быть и вещественным (однородная волна), и комплексным (неоднородная волна). Суперпозицией таких решений можно получить общее решение:
+ со
E= % aj^t~qmr)- (525)
m =—со
Чтобы при этом удовлетворить граничному условию (52.4), необходимо положить
qmx = kx + tnp, qmy = 0.' _ (52.6)
Тогда qmz = ]//г2 — qhx. Двузначность квадратного корня устраняется физическими соображениями. Вещественным значениям qmz соответствуют однородные волны, которые могут только уходить от решетки, а не приходить к ней. Этому условию удовлетворяют только положительные значения qmz. Мнимым соответствуют неоднородные волны. При удалении от решетки они могут только затухать. Поэтому коэффициент при мнимой части должен быть отрицательным. Таким образом, соотношение (52.6) надо пополнить условиями
qmz =-I-Vk2-фпХ и qmz = - і Vk2 - Cfinx, (52.6а)
в которых квадратные корни понимаются в арифметическом смысле. После этого волновые векторы qm определяются однозначно, а для § 52) дифракция НА решетке как краевая задача 337
поля на выходе можно написать
+ OO
F ^yaeHai-ImxX) -bBbix - Zj т
— OO
Сравнение этого выражения с (52.4) дает
am = ADm, (52.7)
#
чем и завершается решение задачи.
3. Полагая в (52.6) kx = (2л/к) sin 8, qmx = (2л/К) sin 1Om, р = 2л/d, получим
d (sin ^m — sin 0) = тк, (52.8)
т. е. основную-формулу дифракционной решетки. Однако в полученном 'решении содержатся и новые результаты. Во-первых, весь спектр за решеткой состоит из одних только главных максимумов, никаких второстепенных максимумов нет. Это, конечно, объясняется тем, что полученные результаты относятся к неограниченной решетке. Во-вторых, в формулу (52.5), наряду с однородными, входят и неоднородные волны, а потому она определяет волновое поле на любых расстояниях от решетки, а не только в волновой зоне, как было в случае формулы (46.2). При нормальном падении света наивысший порядок однородных волн т определяется условием т =? dlk. При т > d/k составляющая qmz мнимая. Соответствующая неоднородная волна экспоненциально затухает по закону ехр (— xmz), где
= Vk2-Qmx = ^ Vmi -(djkf. (52.9)
На расстоянии г = \/хт амплитуда волны убывает в е раз, ее квадрат — в е2 раз. Наибольшее из этих расстояний порядка d. Поэтому при г d поле за решеткой состоит только из однородных волн.
В частности, если d<.k, то при нормальном падении поле вдали от решетки состоит только из одной плоской волны нулевого порядка (т = 0). Никаких боковых дифракционных максимумов не появляется. Исследование прошедшей или отраженной волны rKd
при -А , или практически на расстояниях z^>k, не
2 л у X2 — d2
даст никакой информации о структуре решетки. Рассматривая решетку в микроскоп, мы не обнаружим на ней штрихов. По той же причине свет, распространяющийся в прозрачной среде, например в кристалле, не отклоняется в стороны, хотя среда и построена из дискретных атомов или молекул — кристалл является периодической структурой и в этом смысле может рассматриваться как Дифракционная решетка (фактически наблюдаемое рассеяние света вызывается неоднородностями среды и тепловыми флуктуациями). В оптическом отношении кристалл ведет себя как однородная 338
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
сплошная среда. Причина этого в том, что период молекулярной структуры кристалла меньше длины волны. Но как только нарушится это условие, появятся дифракционные максимумы. Возникнет интерференционное рассеяние волн. Такой случай реализуется в рентгеновской области спектра.
4. В непосредственной близи от решетки волновое поле имеет очень сложный вид. На расстояниях z IAcffl поле становится более простым, поскольку из него выпадают неоднородные волны. Однако картина поля все ещё довольно сложна, так как однородные волны, из которых оно состоит, накладываются друг на друга. При удалении от решетки на некоторое минимальное расстояние плоские волны различных порядков пространственно разделяются. На сравнительно малых расстояниях от решетки к пространственно разделенным волнам различных порядков можно применять геометрическую оптику. Направления на главные максимумы излучения определяются требованием, чтобы все волны, исходящие из различных щелей решетки, при интерференции усиливали друг друга. При этом явно или неявно всегда имеется в виду, что интерференция происходит либо в фокусе собирающей лйнзы, либо на бесконечном расстоянии от решетки. Однако, поскольку дифрагированное поле всюду представляется суперпозицией плоских волн, условие интерференционного усиления определяет также направление распространения таких плоских волн на любых расстояниях от решетки.
5.Если в разложении пропускаемости D в ряд Фурье отсутствует какой-либо член, то будет отсутствовать и главный максимум соответствующего порядка в волновом поле за решеткой. Рассмотрим в качестве примера синусоидальную решетку, называемую также решеткой Рэлея. Ее пропускаемое^ определяется выражением
