Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
// г у// \ правим вдоль диаметра ОС, ось Y—по
у yS /,J<- \ касательной к-сфере, лежащей в рассмат-
риваемой плоскости. Пусть P (X, у) — точка на поверхности решетки, находящаяся у какого-либо штриха. Введем обозначения: A0O = A0, АО = г, A0P = и0, AP = и. Для фокусировки в точке А спектра т-го порядка необходимо и достаточно, чтобы разность хода между лучами, приходящими от соседних штрихов, составляла rrik. Предполагая (что не влияет на результат), что начало О находится также у штриха, запишем это условие в виде U0+ U = r0 + г ± пшк, где п — номер штриха Р. При описанном выше способе нанесения штрихов л = ± y!d, а потому при любом у должно быть
и0 + и = г0+г ±~у. (51.1)
Обозначим через O0, Ь0 координаты точки A0', а, Ь — координаты точки А. Тогда = (У~ b0)2 +(x-a0)* = rl+x*+y*-2 Ь0у - 2 а0х. (51.2)
Уравнение окружности, по которой поверхность решетки пересекается с плоско-
х* + у* = 2(>х.
предыдущее уравнение и использовав соотношение
стью рисунка, имеет вид
(51.3)
Подставив отсюда 2х в
r'l — bl = ajj, найдем
Щ = \г о
Ь0У \s
Г о
+
а0
ад2+
X2.
(51.4)
Второй член — величина второго, а последний -по у. Сохраняя только члены второго порядка,
- четвертого порядка малости получим
U0=T0-
Аналогично,
ЬдУ + _L/ ' Яо
Го 2А0 \
+ 1 ( а
г HF'
- flOf
ау
(51.5)
(51.6)
Подставим эти выражения в формулу (51.1) и приравняем нулю члены с первыми и вторыми степенями у. Тогда получим два условия:
"о
га
, Ь _ тк
+ Т = +
O0
Го
П
+ T
а
Tr
--1 = 0,
(51.7)
(51.8)
при выполнении которых, по крайней мере с рассматриваемой степенью точности, решетка будет обладать требуемыми фокусирующими свойствами. ВОГНУТАЯ ОТРАЖАТЕЛЬНАЯ РЕШЕТКА
333
3. Условие (51.7) определяет направления на дифракционные максимумы т-'то порядка. Действительно, если — угол падения центрального луча на решетку, ад — угол между соответствующим дифрагированным лучом и нормалью к ней (рис. 202), то sin = b0/r0, sin Ф = blr, и уравнение (51.7) принимает вид
d(sinfl+smflo)=±mA., (51.9)
такой же, что и при дифракции на плоской отражательной решетке.
Второе условие, (51.8), определяет расстояние г точки А от центра решетки О, Вместе с уравнением (51.9) оно, таким образом, однозначно определяет положение этой точки, если известно положение источника света A0. Используя соотношения O0 = г0 cos O0 и a = г cos 0, уравнение (51.8) можно представить в виде
CGS2^0 CQS2 0 _ cos O0 -f COS ft _ -
При
малых углах Ofl и 0 получается общеизвестное уравнение вогнутого зеркала радиуса р. Таким образом, каково бы ни было положение источника света A0, всегда существует такая точка А, в которой приближенно собираются дифрагированные лучи. Однако можно достигнуть большей точности и простоты в установке решетки, а также лучшей резкости спектральных линий, если распорядиться выбором точки An так, чтобы в выражении (51.4) исчезли члены второго порядка.
Для этого должно быть ~---- = 0. Тогда, ввиду (51.8), будет -?---= 0.
Г2 р J /"2P
Эти соотношения молено записать в виде
г\ = а0р, или г0 = р cos O0; (51.11)
г2 = ар, или r = pcos#. (51.12)
Соотношение (51.11) означает, что источник света должен лежать на окружности диаметра р, касающейся поверхности решетки в точке О. Из (51.12) тогда следует, что дифрагированные лучи соберутся в точке А, лежащей на той же окружности. Эта окружность называется кругом Роулэнда. На рис. 202 она изображена пунктиром.
Угловая дисперсия решетки d$/dX = m/(d cos o) не будет зависеть от угла если спектры получаются при малых # вблизи o = 0. Тогда cos o » 1, угол О будет линейной функцией длины волны, т. е. получится нормальный спектр. Поэтому в обычных условиях решетка устанавливается так, чтобы изучаемый спектр получался вблизи ее главной оптииеской оси.
Большие решетки в первом порядке имеют разрешающую способность около 200 ООО. Угловое расстояние между спектральными линиями, еще разрешаемыми решеткой, составляет moX/(d cos #) = mk!(Rd cos #), а линейное
m pX m pX ,
= -к sTT ""—І—ft- (51,13)
d cos # R d R
Для эффективного использования разрешающей способности решетки необходимо, чтобы величина Ax была не меньше определенного предела. Положим Ax = 0,01 мм, т = 1, R = 200 ООО, X = 500 нм, d = 1/600 мм. Тогда по предыдущей формуле найдем, что радиус кривизны решетки р должен быть не меньше =5=7 м, т. е. очень велик.
4. Вычисления, приведенные выше, применимы только к лучам, лежащим в плоскости рисунка. Более подробное исследование показывает, что лучи, выходящие из этой плоскости, дают астигматические изображения: точечный источник, помещенный в A0, изображается в виде отрезка, перпендикулярного к плоскости рисунка и проходящего через точку А. Астигматизм увеличивается по мере возрастания угла падения -O0, т. е. с увеличением порядка спектра. Когда источником света является щель, то наличие астигматизма ведет к уменьшению резкости изображения и понижению разрешающей способности, если щель установлена не совсем параллельно штрихам решетки, Поэтому необходимо добиваїься тіца- 334
