Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
оэ
b Ъ} , 2 Vl 1 . лтЬ .к„ „.
т— 1
(Это — чисто математическое соотношение, доказываемое в теории рядов Фурье,) ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЭЛЕЯ
341
Относи?ельная доля дифрагированного света будет
_/п?ощ-/о = 1 — А. (53.3)
^прош ^
Она максимальна и стремится к единице, когда bid -*¦ 0. Однако в этом случае сама интенсивность /прош также стремится к нулю. Интенсивность т-го дифракционного пучка равна
, і sin (nmb/d) 1«
|_ ntnbjd J ' (53-4)
Когда bid -*¦ 0, интенсивности всех дифракционных пучков становятся одинаковыми и равными I0. Однако, как уже отмечено выше, в этом случае каждая из этих интенсивностей сама стремится к нулю.
Если nmb/d = пп, т. е. bid = п/т, где п — целое число, меньшее т и взаимно простое с ним, то обращаются в нуль интенсивности спектров с порядками т, 2т, 3т, ... Так, при b/d = 1/2 пропадают все спектры четных порядков. Смысл этого результата, как уже отмечалось в § 46, станет очевидным, если заметить, что условие т-го главного максимума d sin ft = тк умножением на b/d = п/т преобразуется в b sin ft = пк, т. е. в условие я-го дифракционного минимума при дифракции на отдельной щели. Таким образом, под углом ft каждая щель, а потому и решетка в целом света не посылают.
2. Рассмотрим более общий случай. Допустим, что на участках длины b пропускаемость решетки равна ?, а на участках длины а она равна а. Величины а и ? постоянны, но могут быть комплексными. Таким образом, решетка является амплитуд но-фазовой. Когда аир — числа вещественные, то решетка будет амплитудной. Если же они — числа вида elp (р вещественно), то решетка становится чисто фазовой. Рассматриваемая амплитудно-фазовая решетка эквивалентна плоскопараллельной пластинке с пропускаемостьюа и наложенной на нее дифракционной решетке. Пропускаемость последней на участках b равна (? — а), а на участках а — нулю. Разумеется, величины а и ?, а и b можно поменять местами и получить вторую эквивалентную систему. Математически обе системы отличаются одна от другой только обозначениями, а потому достаточно рассмотреть лишь одну из них, например, первую.
Вычисление коэффициентов Фурье Dm сводится к предыдущей задаче. Для плоскопараллельной пластинки все коэффициенты Фурье обращаются в нуль, за исключением нулевого, который равен а. Поэтому, поместив начало координат
в центре одного из отрезков b и воспользовавшись формулой (53.1), получим
+ ^ ***
где Sm = 1 при т = 0 и Ьт = 0 при т ф 0, При а = 0, ? = 1 получаются результаты предыдущей задачи.
3. Рассмотрим теперь частные случаи чисто амплитудной и чисто фазовой решеток. Для амплитудной решетки величины а и ? вещественны и положительны. Все коэффициенты Dm также вещественны. Знаки этих коэффициентов, начиная с m = и= 1, чередуются. Коэффициенты нулевого и первого порядков могут иметь одинаковые или противоположные знаки в зависимости от соотношения между пропускаемостями а и ?. В случае чисто фазовой решетки пропускаемости а и ? имеют вид е'р. Так как существенна только разность фаз между волнами, исходящими из участков а и в, то без ущерба для общности можно положить а=1, ? = е'Р. Тогда из формулы (53.5) находим
вт = (е'Р-1)А- sinJ^) {тФ0), (53.6)
d mnb/d d
D0 = (^P-I)-S-+!. (53.7) 342
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
Как и в случае амплитудной решетки, коэффициенты Фурье Dm, начиная cm = = d=l, попеременно меняют знаки, Никакого дополнительного сдвига фаз между этими коэффициентами нет,
Качественное отличие фазовой решетки от амплитудной состоит в том^что в случае фазовой решетки имеется дополнительный сдвиг фаз ф между спектром нулевого и спектрами всех прочих порядков. Чтобы его вычислить, найдем из формул (53.6) и (53.7) комплексное отношение DmIDa. Аргумент этого комплексного числа и будет ф, Простое вычисление дает
tg(p = 4±?L (53.8)
o т b — а 1 — cos р v '
Сдвиг фаз ф один и тот же для всех порядков т. Так как после дифракции Hajje-шетке спектры различных порядков пространственно разделяются на независимые пучки, то можно оказывать воздействие на каждый из них, не меняя при этом амплитуды и фазы всех остальных пучков. Например, если на пути нулевого пучка поставить прозрачную пластинку, которая изменила бы его фазу на ф, то фазовые соотношения между дифрагированными пучками будут такими же, как и у амплитудной решетки. С введением такой пластинки фазовая решетка действует как амплитудная. На этом основан метод фазового контраста, используемый в микроскопии (см. § 59).
Отметим два частных случая. Во-первых, случай а = Ь. Тогда формула (53.8) дает tg ф = то, т. е, ф = л/2. Во-вторых, случай малых значений р. Тогда
Ь + а 2
т. е. Ig ф очень велик, а самый угол ф практически равен л/2, В обоих случаях для превращения фазовой решетки в амплитудную на пути нулевого пучка или на пути всех прочих дифрагированных пучков достаточно ввести пластинку, вносящую дополнительную разность фаз ±я/2.
4. В качестве последнего примера рассмотрим фазовую решетку, профиль штрихов которой показан на рис. 205. Поперечное сечение штриха имеет форму треугольника, одна сторона которого длинная и пологая, а другая — короткая
