Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
10 = Ьа(х, у, Oe'lV-®«*." 0)] +Ьа(х, у, v' 0>1 +
+ Ь* + а*(х, у, 0). (54.3)
Допустим теперь, что контактным способом изготовлен позитив голограммы при таком режиме проявления, что амплитудная прозрачность (пропускаемость) D позитива оказалась пропорциональной I0. Для краткости коэффициент пропорциональности можно принять равным единице, т. е. положить D = I0. Этого всегда можно достигнуть надлежащим выбором единиц. Такая позитивная голограмма может быть использована для восстановления рассеянной волны и (г, t). Для этого, убрав предмет А, голограмму просвечивают таким же опорным пучком v (г, t), какой применялся при ее изготовлении. Этот пучок будет испытывать дифракцию на голограмме § 54] голография -
подобно тому, как дифрагирует свет на дифракционной решетке. Задача сводится к расчету дифракционной картины за голограммой. Для ее решения можно применить метод Рэлея. Обозначим через E (г, t) волновое поле за голограммой. На выходе голограммы оно представится выражением
Ema = Dvixl у, 0) = 1фе1^~к*х\ (54.4)
Надо найти решение волнового уравнения
удовлетворяющее краевому условию (54.4). Ввиду линейности и однородности такого уравнения и условия (54.4), эту задачу можно расчленить на четыре независимые задачи. Представим функцию E в виде суммы
Е = Е1 + Е2 + Е3 + ЕІ (54.6)
и потребуем, чтобы слагаемые E1, Et, E3i E1 были решениями уравнения (54.5) и удовлетворяли следующим граничным условиям:
Е1вых = Ь*а(х, у, 0)Є'[°<-®<*. f. о», (54.7)
^2 вых = Ь2а (х, у, ^-2VI1 (54.8)
Е3вых = Ь*е1(а1-к*х\ (54.9)
Е1вых = ЬаЦх, у, (54.10)
Сюда необходимо добавить физическое условие, чтобы волны, дифрагированные на голограмме, были уходящими. Этим обеспечивается единственность решения.
5. Проще всего найти функцию E3, т. е. решение задачи, удовлетворяющее граничному условию (54.9). Ввиду постоянства b таким решением, очевидно, будет
?3==b3el^-^ = b2v(r, і). (54.9а)
Если отвлечься от амплитудного множителя Ь2, то это есть просвечивающая (опорная) волна, распространившаяся за голограмму.
6. Основной интерес в голографии представляет решение Elt удовлетворяющее граничному условию (54.7). Ввиду постоянства Ь, его можно также сразу указать. Именно:
E1=Paix, у, г)е{№~фу. =b2u ir, t). (54.7а)
Действительно, функция E1 удовлетворяет волновому уравнению (54.5) и представляет волну, уходящую от голограммы, которая при г = 0 переходит в выражение (54.7). Но эта волна с точностью до несущественного постоянного множителя тождественна с волной и, рассеянной объектом. Она, таким образом, точно воспроизводит 348
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
рассеянную волну и дает мнимое изображение (МИ) объекта, в том же самом месте, в каком он находился во время получения голограммы (рис. 207, а). Тем самым разъяснен основной принцип голографии.
S) S)
Рис, 237.
7. Для нахождения волны E2, т. е. решения волнового уравнения, удовлетворяющего граничному условию (54.8), рассмотрим сначала частный случай, когда опорный, а следовательно, и просвечивающий пучки перпендикулярны к плоскости голограммы. Тогда kx — 0, и граничное условие (54.8) переходит в
^Bbix = Ь2а(х, у, 0)є'і>'+ф(деі у. о». (54.ц)
Волна
Ё2{х, У. г) = Ь2а (х, у, + ZHt (54.12)
очевидно, удовлетворяет этому граничному условию. Это есть волна, получающаяся из волны (54.7а) обращением направления ее распространения, а потому она также удовлетворяет и волновому уравнению (54.5). Она давала бы мнимое изображение предмета перед голограммой в точности в том же месте, где находился сам предмет при получении голограммы (рис. 207, б). Однако волна E2 (г, t) распространяется к голограмме, а не от нее, и по этой причине не может служить решением рассматриваемой нами задачи. Для нахождения нужного решения заметим, что волновое уравнение (54.5) не изменится, если изменить на противоположные знаки одной или нескольких координат. Так, при изменении знака у г уравнение (54.5) переходит в
. ? + 1^ + ^7? + ^==0- " (54-5а)
Это уравнение, очевидно, имеет решение E2 (х, у, —2). А так как оно тождественно с уравнением (54.5), то последнее имеет такое же решение, т. е.
Е2 = Ь2а(х, у, —г)ес^' + ф<*.*-*>]. (54.11а)
Решение это, очевидно, удовлетворяет граничному условию (54.11).' Оно получится из (54.12), если пространства перед и за голограммой § 54]
ГОЛОГРАФИЯ
349
поменять местами. Решение (54.11а) представляет волну, идущую от голограммы, а потому оно и будет искомым решением задачи. Полученная волна сходится за голограммой и дает там действительное изображение (ДИ) предмета. Положение его зеркально симметрично с положением самого предмета относительно плоскости голограммы (рис. 207, б). Однако глаз может видеть действительное изображение только тогда, когда оно рассматривается с задней стороны, т. е. когда изображение находится между голограммой и глазом. Поэтому действительное изображение будет псевдоскопи-ческим, или вывернутым. На нем выпуклые места предмета глаз видит как вогнутые и наоборот. (Псевдоскопичность не будет проявляться, если действительное изображение спроектировать на экран.) Если смотреть на голограмму перпендикулярно к ее поверхности, то действительное изображение будет мешать рассматриванию мнимого изображения, так как оба изображения лежат на одной линии зрения. Такое же вредное влияние оказывают прямые лучи просвечивающего пучка, поскольку они также попадают в глаз. Эти недостатки устраняются применением наклонных опорных (а следовательно, и просвечивающих) пучков света.
