Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
+w + ?
Ep = еш J J eik (Х<р + ^Ф
— к — ? 356
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[гл. iv
Это в точности такой же интеграл, какой встречался в § 45 при рассмотрении фраунгоферовой дифракции на прямоугольном отверстии. Поэтому распределение интенсивности света в фокальной плоскости в окрестности фокуса можно представить формулой
(jHi)1^r- <66-3>
В фокальной плоскости получается система светлых пятен прямоугольной формы со светлым центром (см. рис. 179). Расстояния между двумя соседними минимумами, а также от центра центрального максимума до первого минимума равны
Остается проверить, выполняется ли условие (55.1). Так как заметная интенсивность по формуле (55.3) получается при R порядка Ах, то формула (55.1) переходит в
?>VVv (55.5)
В оптических приборах под г0 следует понимать расстояние от линзы (или сферического зеркала) до точки геометрического схождения лучей. Например, если лучи сходятся в главном фокусе, то г0 равно фокусному расстоянию / линзы или зеркала. Ввиду малости длины волны, условие (55.5) очень хорошо выполняется во всех оптических приборах. Так, при / = 10 см, X = 500 нм из (55.5) получаем ? > >4 -IO"3 рад a 15'. Поэтому применимость выведенных здесь формул к оптическим приборам с линзами и зеркалами не вызывает сомнений.
Для теории оптических приборов наибольшее значение имеет случай круглой диафрагмы. Исследование этого случая, конечно, не встречает каких-либо затруднений. Качественно ясно, что дифракционная картина в фокальной плоскости должна иметь вид светлых и темных концентрических кругов со светлым центром (см. рис. 180). Для определения размеров дифракционных кругов надо вычислить интеграл (55.2). В случае круглой диафрагмы результат вычисления выражается через бесселеву функцию первого порядка. Радиусы темных колец имеют следующие значения:
R = О.бІЯ/?; 1.12Л./Р; l,62ty?; ..., (55.6)
где ? — угловой размер радиуса диафрагмы, если его рассматривать из точки О.
3. Найдем теперь распределение интенсивности света на оси МО, предполагая, что пучок лучей ограничен круглой диафрагмой. В этом случае в (55.2) можно взять dQ = 2я sin ft dft (рис. 210). Если точка P лежит перед фокусом, то tiR = —R cos Ф. Если же § 56] РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ТЕЛЕСКОПА И МИКРОСКОПА
357
она лежит за фокусом, то nR = R cos О. По формуле (55.2)
? 2„J (шI ± kR)
Ep = 2леш \ е± Wt cos Ogin ft Clft= ^ ikR-[1 (cos ?-l)]f
0
r;:o верхний знак относится к случаю, когда точка наблюдения расположена левее, а нижний — правее фокуса. Вычислив модуль этого выражения, находим амплитуду колебаний поля на оси пучка:
1 . kR( 1—cos?) /сс-74
sin—-—. (55.7)
Во всякой плоскости, перпендикулярной к оси пучка, дифракционная картина имеет вид концентрических колец. Однако, в зависимости от положения этой плоскости, центр пучка может быть и светлым, и темным. Амплитуда на оси обращается в нуль, когда kR (1 — cos ?) = тл, т. е.
^ = (m= 1, 2, 3, ...). (55.8)
В этом случае, как легко убедиться, в неприкрытой части сферического волнового фронта содержится четное число зон Френеля, а потому центр колец и получается темным. Расстояние между ближайшими минимумами интенсивности, расположенными по разные стороны от фокуса, равно
2Х - 4Х (55.9)
1—cos? ?2
Эта величина может служить мерой продольных размеров области, в которой концентрируется свет вблизи фокуса. Объем этой области
4х (%_у _
I?/ ?4
порядка ж ¦ 4 , -
§ 56. Разрешающая способность телескопа и микроскопа
1. Будем предполагать, что оптические системы идеальны в смысле геометрической оптики, т. е. дают строго точечные изображения каждой точки объекта. По волновой оптике это не так. Как показано в предыдущем параграфе, изображением светящейся точки в сопряженной плоскости является дифракционная картина, состоящая из концентрических колец, окружающих центральный светлый дифракционный кружок. Распределение интенсивности в такой картине представлено сплошной кривой на рис. 181. Основная доля энергии света (около 84%) приходится на центральный дифракционный кружок. Этот кружок и будет изображением светящейся точки, если пренебречь энергией, приходящейся на окружающие его дифракционные кольца. Он называется кружком Эйри по имени 358
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
ученого, впервые рассчитавшего дифракционную картину Фраунгофера от круглого отверстия.
Конечный объект можно рассматривать как совокупность точечных источников, каждый из которых изображается кружком Эйри (1801—1892) с окружающими его дифракционными кольцами. Изображение объекта есть наложение таких кружков и дифракционных колец. Задача теории сводится к расчету распределения интенсивности света в такой картине. Следует различать два предельных случая: 1) точечные источники некогерентны; 2) точечные источники когерентны. В первом случае складываются интенсивности волновых полей, во втором — их напряженности. Приближенно первый случай реализуется для самосветящихся, второй — для освещаемых объектов. Первый случай имеет основное значение в теории телескопа, а второй — микроскопа.
