Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
D = а + ? cos рх = а + + єг'р*)
с постоянными а, ? и р. В этом случае световое поле за решеткой состоит из трех плоских однородных волн: неотклоненной волны (максимум нулевого порядка) с амплитудой а0 = аА и двух боковых максимумов первого порядка с амплитудами % = OL1 = V2 ?Л. Других главных максимумов не будет. Если поверхности тела придать форму синусоиды, амплитуда которой мала по сравнению с длиной волны, то такая поверхность приближенно будет вести себя как решетка Рэлея. Это удалось сделать Буду путем травления (примерно в течение 10 с) поверхности стеклянной дифракционной решетки слабым раствором фтористоводородной кислоты. Обычные стеклянные решетки дают очень слабые спектры, так как штрихи, нанесенные алмазом, узки по сравнению со светлыми промежутками между ними, Если штрихи расширить, смочив поверхность решетки § 52) ДИФРАКЦИЯ НА РЕШЕТКЕ КАК КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
339
слабой фтористоводородной кислотой, то удается достигнуть увеличения интенсивности спектров в несколько раз (до десяти). '
Возможны и такие структуры, которые формально могут рассматриваться как дифракционные решетки, дающие только один максимум. Примером может служить призма. Если на одну из боковых граней призмы падает плоская монохроматическая волна, то фаза волнового поля на выходе (на второй грани призмы) будет меняться с координатой по линейному закону. Соответствующее граничное условие удовлетворяется только одной уходящей плоской волной. Это и есть волна, прошедшая через призму и отклоненная ею. Проблема отражения и преломления света на плоской границе раздела двух сред может решаться как краевая задача по методу Рэлея. При таком подходе плоская граница раздела ведет себя как дифракционная решетка, дающая только один максимум.
6. Ограниченная решетка может быть рассмотрена также методом Рэлея. В пределах решетки ее пропускаемость периодична, а вне обращается в нуль. Разложение пропускаемости в интеграл Фурье имеет вид
+ OO
D(X)= j C(f)e-4*df. (52.10)
— СО
Поле на выходе решетки представится выражением
Езых = А+[ Cine-l^x df.
— со
Решение, удовлетворяющее этому и всем прочим условиям задачи, имеет вид
J- OO
E = A j С (/) e~iqr df, (52.11)
— со
где qx = kx-\- f, qy = 0, a qz определяется прежними формулами (52.6а). Зададим теперь пропускаемость решетки выражением
О, если —со CxC-L,
-}- OD
D(x)={ 2 Dme~impx, если —L<x< + L, (52.12)
т = — со
О, если + L С X С+ оз.
Вычисляя коэффициент Фурье С (/), получим
+ 3D +СО
sin L (f — тр)
тр
т = —со
В результате поле за решеткой представится в виде
E = ItEm, (52.13) 340
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
где
со
Ет=А С JjinL(Z-^P) e-t4rdf = л Jm / — тр 1
— со
4- со
я J Ы-2тл к
— со
По-прежнему волновое поле за решеткой складывается из волн различных порядков т. Однако волна Em уже не сводится к единственной плоской волне определенного направления, а состоит из суперпозиции непрерывного множества плоских волн различных направлений. Распределение интенсивности по направлениям в отдельной волне Em определяется той же кривой, что и в водне, дифрагированной на щели (см. рис. 175). Интенсивность достигает максимума, когда знаменатель обращается в нуль, т. е. когда qx = kx + тр = 0. Это условие определяет направление на главный максимум т-го порядка. В рассматриваемом случае
sin [(N J 2) (fd— 2тл)] _ JV fd — 2тл ~ 2 '
а потому интенсивность волны Em в главном максимуме пропорциональна Ni, Когда sin [(Nl2) Qd — 2тл)) = 0, но fd — 2тл Ф 0, интенсивность волны обращается в нуль. Этим определяются направления на дифракционные минимумы, число которых между двумя соседними главными максимумами равно N — 1. Таким образом, получаются все результаты, найденньіе выше методом суммирования волн.
§ 53. Примеры на применение метода Рэлея
Ниже предполагается, что период решетки значительно больше длины световой волны, так что пропускаемость D (х) можно вычислить в приближении геометрической оптики.
1. Начнем с плоской амплитудной решетки, состоящей из прозрачных щелей ширины b и непрозрачных промежутков между ними ширины а. В приближении геометрической оптики пропускаемость D (х) равна единице на щели и нулю в промежутках между ними. Начало координат поместим в середине щели. Тогда коэффициент Фурье Dm представится выражением
+ d/ 2 + Ь/2
1 (* „ . If. ' b sin (яmb/d) , ,.
Dm = | \ D (x)elmPx dx = — J SWdx = -. ^mbl' К (53.1)
-d/ 2 —Ь/2
При вычислении интенсивности дифрагированного пучка в принципе следовало бы учесть изменение его поперечного сечения из-за наклона к плоскости решетки. Однако это было бы превышением точности, так как наши вычисления применимы лишь при малых углах дифракции, когда cos # ~ 1. В этом приближении относительная интенсивность т-го дифракционного пучка / = Dm- (Интенсивность падающей волны принята за единицу.) Для спектра нулевого порядка D0 = bid, I0 = (bfd)2. Полная интенсивность, пропускаемая решеткой, /пр0ш = bid. Разность этих величин дает суммарную интенсивность света, приходящуюся на спектры прочих порядков:
