Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
327
рассматриваться как плоские и следующие друг за другом через равные промежутки времени
d sin гл ,
T=—-—. (50.1)
На таких расстояниях возмущение представляется периодической функцией E (t), период которой т зависит от угла G1 т. е. от направления излучения. Вместо непериодического импульса решетка создает пространственно разделенные периодические возмущения различных периодов. Исключение составляют импульсы, которые за решеткой распространяются под углом G = O-B этом случае разложения не будет. Эти периодические возмущения, вообще говоря, не синусоидальны. Но, как и всякие периодические функции, они могут — . быть разложены в ряд Фурье с основным периодом т. Для понимания действия решетки такое разложение не обязательно. Но оно целесообразно, когда приемниками излучения в спектроскопах и спектрографах являются глаз, фотографическая пластинка и другие селективные приемники. Они действуют подобно набору гармонических осцилляторов с различными собственными частотами.
Ряд Фурье, в который может быть разложено периодическое возмущение E (t), вообще говоря, будет содержать монохроматическую волну с основным периодом т. Наряду с ней могут войти гармоники с периодами т/2, т/3, ... . Не все эти гармоники воспринимаются приемником. В простейшем случае только одна из них, например гармоника с периодом хіт, действует на приемник.
Обозначим ее период через Т. Тогда T = ~ — d ^ ^, или
d sinG = mX. (50.2)
Это —¦ основная формула дифракционной решетки. Но могут быть и такие случаи, когда разложение Фурье содержит две или больше гармоник, действующих на приемник. Тогда имеет место перекрытие спектров разных порядков. Это, однако, возможно только тогда, когда падающее излучение заполняет спектральный интервал, ширина которого превосходит дисперсионную^ область решетки.
Рис. 200. 328
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
Рассмотрим теперь воздействие на решетку единичной монохроматической волны с периодом Т. Вторичные волны, выходящие в этом случае из щелей решетки, а потому и их суперпозиция будут монохроматическими с тем же периодом Т. Значит, монохроматическая волна после прохождения через спектральный аппарат остается монохроматической без изменения периода. Отсюда и из принципа суперпозиции следует, что в спектре решетки не могут появиться монохроматические составляющие с частотами, отсутствующими в спектре падающего излучения. Если спектральная область, занимаемая падающим излучением, не превосходит дисперсионную область, перекрытия спектров различных порядков совсем не будет. При этом в случае неограниченной решетки в спектре каждого порядка каждому направлению луча будет соответствовать строго определенная длина волны К. Наложения волн различных частот не будет. Это значит, что разрешающая способность неограниченной решетки бесконечно велика.
2. Допустим теперь, что длина решетки L и число штрихов N конечны. Тогда периодические возмущения, формирующиеся решеткой, будут состоять из N импульсов, следующих один за другим через время т = (d sin ft)/с. Время
приблизительно равно времени от момента появления первого до момента появления N-то импульсов. Оно называется временем затягивания импульса, так как за решеткой вместо одиночного короткого импульса получается волновой процесс длительностью ©. Время в называют также временем установления спектрального аппарата, так как по прошествии такого времени начинают действовать все N штрихов решетки. Волновое возмущение в точке наблюдения может быть представлено в виде
где слагаемые в правой части представляют импульсы, приходящие от отдельных штрихов. Так как эти импульсы запаздывают один относительно другого на время т, а в остальном совершенно тождественны, то /2 (t) = fx{t — т), /з (t) = Z1 (t — 2т) и т. д. Результирующее возмущение представится в виде
,, iVd sin •& 6 = Nx =-
L sin
(50.3)
с
?(0 =MO+ МО+ -.. + МО.
E (0 = Л А (©) еш dw, где А (со) = ~ \ E [t) е~ ш dt.
о
-OO СПЕКТРАЛЬНЫЙ АППАРАТ И СВЕТОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ
329
Подставив сюда выражение для E (t) и учтя, что (/ — т) = fx (t), получим
+ со
л (со) + + J f1{t)e'iatdt=-
— со
= sinJ^ (Б0Л)
где введено обозначение
F (со) = ~ е~с (ЛГ-1) ит/2 J fx{t)e-m'dt.
+ OO
Величина I F (со) I2 dco с точностью до постоянного множителя представляет интенсивность падающего импульса, приходящуюся на интервал частот (со, со + dco). Такой же смысл имеет величина I А (со) I2 dсо для излучения, выходящего из решетки под углом Теперь дифрагированное излучение, распространяющееся от решетки в определенном направлении, состоит не из одной монохроматической волны, как было в случае неограниченной решетки, а непрерывно распределено по спектру частот. Главные максимумы в этом распределении приходятся на частоты, при которых знаменатель в выражении (50.4) обращается в нуль, т. е. сот/2 = тл. Это приводит к соотношению (50.2). Главные максимумы не появятся, если F (0) = 0, т. е. когда в падающем импульсе, не представлено излучение соответствующей частоты. Ближайший минимум в распределении интенсивности по частотам приходится на частоту, определяемую условием /Vсот/2 = Nmx + л, так как при такой частоте числитель в формуле (50.4) обращается в нуль. Величина
