Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Этого уравнения недостаточно для определения неизвестных Г. и Т.2. Для нахождения недостающего уравнения разрешим уравнения (51.7) относительно производных dTjdt и dTjdt и вычтем почленно из одного уравнения другое. Тогда получим
d(T,-T2) П-7’2
где введено обозначение
dt
1 >tS / 1
+ _L\
(54.9)
(54.10)
Постоянная X имеет размерность времени. Интегрируя уравнение (54.9), получим
_ t
Тх-Тг=Ае \
Разность температур Tv —¦ Т% убывает во времени по экспоненциальному закону. За время х эта разность убывает в е раз. Поэтому т характеризует время установления теплового равновесия между телами 1 и 2. Оно называется временем рглак-сации или временем выравнивания температур рассматриваемых тел. Постоянная интегрирования А найдется из начальных условий: 7\ = Т10, У2 — Т2(1 при t — 0. Это дает
t
Ті — Т2 — (Тщ — Т2„) е т.
Решая теперь систему уравнений (54.8) и (54.11), найдем
_ С.Г.о + С.Т,,, с2 *
Сі +с2
СхТы + С2Тт
Сг + С2 С,
(Гіо Т2а) ?
Ci + C2
г (Т'ю — Т2 о)е
(54.11)
(54.12)
При t~^> т экспоненциальные члены в этих выражениях пренебрежимо малы, и формулы (54.12) переходят в общеизвестное выражение, определяющее «температуру смеси».
ЗАДАЧИ
1. Определить толщину льда, образующегося в течение заданного времени на спокойной поверхности озера. Считать, что температура Т окружающего воздуха все время постоянна и равна температуре наружной поверхности льда (Т < Тпл, где Тпя — температура плавления льда).
Решение. Обозначим буквой х толщину образовавшегося слоя льда к моменту времени t. Если замерзание идет не очень быстро, как это в действительности имеет место в естественных условиях, то в слое льда установится
§ 54] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 175
линейное падение температуры от Тпл до Т. В этом случае тепло, уходящее наружу от единицы поверхности льда за время dt, представится выражением
т ____Т
я —^—-а.
X
Но ту же величину можно представить в виде q рdx, где dx — толщина слоя льда, образовавшегося за время dt, р — плотность льда, q — удельная теплота плавления льда. Это приводит к уравнению
у. — л —— dt = qp dx. х
Умножая на х и интегрируя, получим
к(Тпл — Т)1 = 2 qpifi + A.
Примем за начало отсчета времени момент, когда образование льда на поверхности воды только что началось. Тогда х — 0 при t = 0, а потому /4 = 0. В результате получим
|(54.13)
qp
Лля льда и -2,22-10s эрг/(с-см-К), 9=3,35-10® эрг/г, р = 0,9 г/см3. Допустим, что температура окружающего во іду ха равна —10 С. Пользуясь этими данными, нетрудно вычислить, что за сутки (/ = 86 400 с) образуется слон льда толщиной х ~ 11,3 см.
2. Сферический кусок льда (с начальным радиусом R0 = 1 см) погружен в большую массу воды с температурой 10 ^С. Предполагая, что теплопередача в жидкости связана только с ее теплопроводностью, определить время т, в течение которого лед полностью растает. Теплопроводность воды х = 6- 10~:i Вт/(см*К). удельная теплота плавления льда q — 330 Дж/г.
Р с ш е н и е. Если таяние льда идет не очень быстро, то мгновенное распределение температуры в окружающей воде будет таким же, что и в стационарном случае при тех же граничных значениях температуры. Согласно (53.2) оно в рассматриваемом случае имеет вид
T=TX+Rr (V 7,),
где R — мгновенное значение радиуса куска льда, Т0 и 7\ — постоянные температуры воды на поверхности шара и в бесконечности (но условию задачи Т.. — Т0= 10 К). Количество тепла, поступающее к шару от окружающей воды за время dt, равно
dT dr
4nr"-v - dt = 4лxR (T({j- T0) dt.
Это тепло идет на расплавление льда и потому может быть также представлено выражением
— q dm — — 4л/?2р_,(7 dR.
Приравнивая оба выражения, получим
к (тсг, -- т0) dt — — p.,qR dR.
Отсюда интегрированием находим искомое время таяния льда
176
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
[ГЛ. IV
§ 55. Принцип суперпозиции температур. Температурные волны
1. Уравнение теплопроводности (52.6) линейно н однородно. Следствием этого является важное свойство его решений, называемое принципом гцп"рчо:ш-ции температурных возмущений. Пусть 7\ (.V, /) и Т., (х, t) — какие-либо два решения уравнения (52.6), т. е.
дТ, _ д'Тх аТ, _ сРТп
di ~ L дх- ' dt ^1 дх- '
Если почленно сложить эти соотношения, то получится
д(Т,+ Т2) д- {Тх-\-Т2) dt Z dv-
Отсюда видно, что сумма Т = 7\ + Т.. также является решением уравнения (52.6). Вообще, сумма произвольного числа решений уравнения теплопроводности сама является решением того же уравнения. Эта математическая теорема выражает следующий физический факт. Пусть Тх (.v, /), Т., (х, I), ... — какие-либо возможные произвольные распределения температуры в среде. Тогда их сумма Т =¦-- Ту (х, I) -| Т., (х, t) Н- ... дает также некоторое возможное распределение температуры в той оке среде. Это положение и называется принципом суперпозиции (наложения) температурных возмущений.
Для правильного понимания и применения принципа суперпозиции температур необходимо иметь в виду, что свойства реальных сред, в том числе и коэффициент температуропроводности 7, меняются с температурой. Этого при доказательстве мы не учитывали. Температура Т — Тх + Т2 + ... может оказаться, например, настолько высокой, что твердое тело расплавится или испарится. Тогда решение Т — Тх + Т2 |- ... потеряет всякий смысл. Таким образом, свойства линейности и однородности уравнение теплопроводности сохраняет лишь приближенно в каком-то температурном интервале, в котором коэффициент температуропроводности постоянен. Ширина интервала зависит от самой срсды, а также от степени точности, предъявляемой к расчету. Принцип суперпозиции сохраняет силу только тогда, когда все температуры Тх, Т.,, ..., а также их сумма не выходят за пределы этого интервала. Вне этих пределов принцип суперпозиции несправедлив. Основное значение принципа суперпозиции состоит в том, что он позволяет по известным решениям уравнения теплопроводности «конструировать» новые решения.
