Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика" -> 76

Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика — Физматлит, 1970. — 565 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykurstermodinamika1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 240 >> Следующая

Если выражение (52.3) подставить в формулу (52.1), то получится
д'Г д
v
дх дх
(*%)¦ (52.4)
Это уравнение называется уравнением теплопроводности. В частном случае, когда среда однородна и коэффициент и не зависит от температуры, оно принимает вид
дГ д-Т
или
(52-6)
где введено обозначение
(52.7)
Постоянная / называется коэффициентом температуропроводности среды.
В среде могут оказаться источники тепла. Например, тепло может выделяться в результате прохождения электрического тока или радиоактивного распада. Такие источники мы не принимали во внимание. Чтобы их учесть, введем величину q, равную количеству тепла, выделяемому источниками в единице объема среды в одну секунду. Тогда вместо уравнения (52.1) следует писать
= <52-81 В соответствии с этим изменятся и остальные уравнения.
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
167
4. В общем случае, когда свойства и температура среды зависят от всех трех пространственных координат х, у, ?, уравнение теплопроводности, выражающее баланс тепла в теле, имеет вид
% = - + % + ж) + q- (529)
Однако решения такого уравнения аналитически можно получить только в простейших случаях. Наиболее важными являются случаи, когда среда и распределение температуры в пей обладают сферической или цилиндрической симметрией. Поэтому мы не будем выводить уравнение (52.8), а ограничимся случаями сферической и цилиндрической симметрии. В этих случаях, вместо прямоугольной системы координат, более удобными являются сферическая и цилиндрическая координатные системы.
Рассмотрим сначала случай сферической симметрии. Вектор плотности потока тепла j направлен вдоль радиуса, причем величина /', помимо времени, зависит только от г. Опишем вокруг центра симметрии две концентрические сферы с радиусами г и г + dr (рис. 41). Количество тепла, вступающее за время dt в пространство между этими Рис. 41.
сферами через первую из них,
равно j (г) Anrhlt. Количество тепла, вытекающее за то же время через вторую, сферу, будет / (г + dr) -4л (г + drfdt. Эти два количества удобно писать в виде 4л; (jr2),dt и 4я (ji )ri-)lrdt, чтобы подчеркнуть, что речь идет об одной и той же функции /г2, но при разных значениях аргумента: г и г + dr. Разность между ними
4л [(jr2)r - (jr2)rhclr\ dt = — 4л ^ (r2j) dr dt
дает количество тепла, втекающее за время dt в рассматриваемый сферический слой из окружающего пространства. При наличии источников сюда надо добавить количество тепла
4nqr2 dr dt,
поставляемое источниками. Но изменение количества тепла в слое можно представить в виде р -Ajiildr -cvdT. Поэтому уравнение баланса тепла будет
<*»?= -,т| ('¦/) + ?• (52.10)
168
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
[ГЛ. IV
2 п


Вместо соотношения (52.3) следует писать / = — х<^> так что
р-ї=^Н?)+*- ' <*•¦¦>
Аналогичные рассуждения проводятся и в случае цилиндрической симметрии. Понимая теперь под г расстояние до оси симметрии, получим
рг/1 = -!!(/-/)+ <7, (52.12)
дТ 13/ дТ, . ,оч
Vе* dt -Тд?{хг0г} + (1- (52ЛЗ>
5. К уравнению теплопроводности надо добавить общее соотношение, которое должно выполняться на границе раздела двух произвольных сред. Это граничное условие состоит в том, что по обе стороны указанной границы должны быть одинаковые нормальные
составляющие вектора J. Действительно, пусть АВ — граница раздела сред, а п — единичный вектор нормали к ней, проведенный например, от первой среды ко вто-1 рой (рис. 42). Вырежем мысленно
Рис. 42. бесконечно малый цилиндр с об-
разующими, перпендикулярными к границе раздела, и основаниями по разные стороны от нее. Высота цилиндра h должна быть бесконечно малой высшего порядка по сравнению с линейными размерами оснований. Тогда потоком тепла через боковую поверхность цилиндра можно пренебречь. Если 5 — площадь основания цилиндра, то количество тепла, вступающее в него в 1 секунду, будет равно
[jrt'-i'^S.
Но эта величина, как и количество тепла, содержащееся в цилиндре, должна быть пропорциональна его объему Sh, т. е. в пределе при h ->¦ 0 должна обращаться в нуль. Таким образом, в пределе, когда оба основания цилиндра сливаются друг с другом на границе АВ, должно быть
/',}¦ =/Т. (52.14)
Это значит, что на любой границе нормальная составляющая вектора потока тепла непрерывна. Доказательство предполагает, что на границе раздела сред нет источников тепла с конечной поверхностной плотностью. При наличии таковых нормальная составляющая вектора j может претерпевать разрыв.
§ 53] ПРОСТЕЙШИЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ НА ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 169
§ 53. Простейшие стационарные задачи на теплопроводность
Все задачи на теплопроводность могут быть разделены на стационарные и нестационарные. Стационарными называются такие задачи, в которых температура Т не меняется во времени. Она является функцией только пространственных координат. В этом случае dTidt = 0. В одномерных задачах Т зависит только от одной пространственной координаты, так что отпадает надобность в символе для частных производных. Рассмотрим простейшие стационарные одномерные задачи.
1. Стационарное распределение температуры в бесконечной плоскопараллельной пластинке. Допустим, что имеется бесконечная пластинка толщины /, поверхности которой поддерживаются при постоянных температурах Тг и Т.-,. Требуется найти распределение температуры Т внутри такой пластинки. Примем за ось X прямую, перпендикулярную к пластинке. Начало координат поместим на плоскости 1, ограничивающей пластинку. Коэффициент теплопроводности /. может зависеть от координаты х. Уравнение (52.4) переходит в
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 240 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed