Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика" -> 82

Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика — Физматлит, 1970. — 565 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykurstermodinamika1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 240 >> Следующая

' о ‘ о У 7J
мерности распределение температуры в среде может быть записано в виде функциональной связи между этими безразмерными комбинациями. Но вторая из них еегь просто постоянное число, и следовательно, может не учитываться при написании искомой функциональной связи. Таким образом, должно быть
Т . 1 х
Та ~~ 7у<! ’
Г-=¦/(?). (56.1)
l=7^=- 156.2)
V yj
Явный вид функции / можно определить из уравнения теплопроводности (52.6). Дифференци рован ием н аходим:
дТ = df с>1 _ df 1
дх ~ dt дх ~~ dt 2 ( у/’
д*Т _ d-j _1______д\ = 44 1
дх- ~ d%! 2 I V дх ~ dt.2 4y>t ’
дТ ^df dl__________1 с][ х
dt dl д/ 4(Kfl'tf"
Подставляя эти значения в уравнение (52.6), получим после сокращения
ар—*! <56-3»
Обозначая дифференцирование по t штрихом н разделяя переменные, запишем это уравнение в виде
или
где введено обозначение
^ 56 J
ЗАДАЧА ОБ ОСТЫВАНИИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
181
Интегрирование дает:
/'= Ае~*.
Интегрируя вторично и имея в виду, что /= Т, получим
21 ).t
Т = А \' t-«*dg + B.
о
Остается найти постоянные интегрирования А и В. Полагая х — 0, / ф 0, получаем Т — В. Таким обрачом, постоянная В дает температуру поверхности среды во все моменты времени і ф 0. По условию задачи она постоянна и равна Тх. Для определения постоянной А воспользуемся начальным условием: Т = Т0 при / = 0. Это дает
'Х>
Г0=Л\' e-?d\ + Tv 0
В интегральном исчислении доказывается, что входящий сюда интеграл равен | _ д
j | л. Таким образом, Г0 = - |л +7’1. Окончательное решение задачи имеет вид
21 yt
Г = 2Т°~~ Гл‘
^ e-^dl + Ti. (56.4)
Из этой формулы дифференцированием по х получаем значение температурного градиента
ОТ _Т0—Г1 —
¦Г ~ ~ У '¦ (5Ь.о)
Ох | лyt
В частности, на поверхности среды, т. е. при х = 0
ОТ _ Гп — Г,
Ox V лу/
(56.6)
Если по формуле (55.9) ввести сюда скорость распространения тепловых волн v с периодом т, то получится
д1=2-п~7'1. (56.7)
Ox v J it
2. Формула (56.7) интересна в том отношении, что с ее помощью Томсон вычислил возраст Земли. В то время считалось, чго первоначально Земля находилась в огненно-жидком состоянии. В недрах Земли происходили интенсивные процессы перемешивания, приводившие к выравниванию температур. Приближенно можно было считать температуру Земли одной и той же во всех ее точках. Поэтому задача об остывании Земли аналогична рассмотренной нами задаче об остывании полупространства. Сферичность Земли не может играть существенной роли, если нас интересует температурный градиент внутри тонкого поверхностного слоя Земли. В этом случае можно воспользоваться формулой (56.7) без всяких изменений. По мере остывания Земли образовывалась твердая земная кора. Начало этого процесса и принимается за момент времени, от которого отсчитывается возраст Земли. Томсон предположил, что коэффициент температуропроводности Земли все время оставался постоянным, и для вычисления возраста Земли I воспользовался формулой (56.7). Как мы уже говорили, на
182
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
t Г Л IV
глубине 20 и более метров на температуру Земли уже не оказывают влияния температурные колебания окружающей атмосферы. Измерения показали, что па таких глубинах гемпераіура повышается приблизительно па 1 при углублении на каждые 25 м. Далее, Томсон условно принял, что температура поверхности Земли Т, равна 0 "С, а в качестве Та взял температуру затвердевания горных пород: Т,, 4000 С. Если за период т взять одни сутки, то, как мы видели,
набтюлепия дают t'«= 1 м.сутки. Подставляя эти значения в формулу (56.7), получим
, 4(Т„-ТЛУ- 4-40002
*=-----= '•> СУТОК ^ 10 лег-
4 ГГо-Г,)’- 4 ¦ 40002
, [dT f / 1 V2
\ 25/
Приведенная оценка дает сильно заниженное значение .для возраста Земли. Это и понятно. Томсон не учитывал и не мог учитывать интенсивное выделение тепла в недрах Земли в результате происходящих в ней радиоактивных процессов. Кроме того, модель огненно-жидкой Земли не согласуется со многими фактами и в настоящее время не считается правильной. В настоящее время не существует общепризнанной геории происхождения Земли. А без такой теории трудно говорить об определенном возрасте Земли.
§ 57. Внешняя теплопроводность
Т. Формула (52.3), определяющая плотность потока тепла /, относится к случаю, когда распределение температуры в среде непрерывно, а коэффициент теплопроводности х также является непрерывной функцией координат. В этом случае говорят о внутренней теплопроводности. В сущности, распределение температуры в пространстве всегда непрерывно. Однако для упрощения математических расчетов иногда бывает целесообразно ввести идеализированнее представление о скачке температур на границе раздела двух различных тел, не находящихся в тепловом равновесии друг с другом. Допустим, например, что нагретое металлическое тело охлаждается потеком воды или воздуха. Ввиду большой теплопроводности металлов происходит быстрое выравнивание температур между различными частями металлического тела. Идеализируя задачу, можно принять, что в каждый момент времени тело имеет одну и ту же температуру . Точно так же окружающей среде, ввиду происходящих в ней процессов перемешивания, можно приписать в каждый момент времени одну и ту же температуру, отличную, однако, от температуры самого тела.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 240 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed