Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА IV ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
* *
§ 52. Уравнение теплопроводности
1. В этой главе будут рассмотрены элементы математической теории теплопроводности. Основы этой теории были заложены французским математиком Фурье (1768—1830) в первой четверти
19 века. Естественно, что Фурье исходил из представлений теории теплорода, которой тогда пытались объяснить все тепловые явления. Эти представления неверны. Но мы видели (см. § 16), что, если объем системы или давление поддерживаются постоянными, то явления протекают так, как если бы тепло было каким-то веществом, которое может только перемещаться в пространстве, но не может создаваться или уничтожаться. Если постоянен объем системы, то количество тепла следует отождествить с внутренней энергией, а если постоянно давление, то — с энтальпией системы. В обоих случаях математические основы теории теплопередачи Фурье остаются верными, хотя их физическое обоснование не имеет ничего общего с представлениями, из которых исходил сам Фурье.
В дальнейшем предполагается, что передача тепла осуществляется исключительно путем теплообмена. Предполагается, что конвекции нет. В твердых телах это осуществляется само собой. В жидкостях же и газах надо позаботиться, чтобы конвекция была устранена, например, нагревать эти тела сверху. Точно так же предполагается, что потерями тепла на лучеиспускание можно пренебречь. Кроме того, будем предполагать, что объем системы остается постоянным, так что никаких перемещении вещества в процессе передачи тепла не возникает. Ограничимся, наконец, рассмотрением только одномерных задач, когда температура тела, помимо времени, зависит только от одной пространственной координаты.
2. В математической теории теплопроводности распространение тепла рассматривается подобно течению жидкости. Плотностью потока тепла называется вектор J, совпадающий по направлению с направлением распространения тепла и численно равный количеству тепла, проходящему в одну секунду через площадку в один квадратный сантиметр, перпендикулярную к направлению потока тепла. Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет вектор j в одномерных задачах.
Пусть имеется неограниченная среда, в которой происходит поток тепла в направлении, параллельном оси X. В общем случае
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
165
свойства среды могут меняться в том же направлении. Кроме того, они могут меняться во времени. Поэтому плотность потока тепла J следует рассматривать как функцию координаты х и времени t: j j(x,t). Выделим мысленно в среде бесконечно длинную призму или цилиндр с образующими, параллельными оси X, и рассмотрим бесконечно малый участок такого цилиндра АВ с длиной dx (рис. 40). Пусть 5 — площадь поперечного сечения цилиндра. Количество тепла, вступающее в цилиндр АВ за время dt через основание А с координатой х, равно /' (х) S dt. Количество тепла, уходящее за то же время через основание В, будет j (х + dx) S dt. Так как через боковую поверхность цилиндра тепло не поступает, то полное количество тепла, вступающее за время dt в рассматриваемый участок цнлиндра, равно
[7 М — / (* 4- dx) I S c!t = — д? S dx dt.
Но это тепло можно представить в виде dM • cvdT, где dM = pS dx— масса цилиндра АВ, cv — удельная теплоемкость, dT — повышение температуры. Приравнивая оба выражения и производя сокращение, получим
<52|>
3. Теперь надо установить связь между плотностью потока тепла и температурой среды Т. Опыт показывает, что поток тепла имеет место только тогда, когда температура среды меняется от точки к точке. Тепло течет всегда в направлении от высшей температуры к низшей. Простейшим является случай бесконечной однородной пластинки толщины I. Если на одной стороне пластинки поддерживается температура Тъ а на другой—температура Т2, причем Т) > Т2, то опыт показывает, что поток тепла пропорционален разности температур Т\ — 7’., и обратно пропорционажн толщине пластинки 1. Математически это можно представить в виде
j = xli=b, (52.2)
где V, — положительная постоянная, зависящая только от материала пластинки и его физического состояния. Эта постоянная называется коэффициентом теплопроводности.
Допустим, что пластинка бесконечно тонкая. Если ось X направлена в сторону понижения температуры, то / = dx, 7\ = Т(х), Т2 = Т (х + dx).
То — Тх _ Т (x+dx) — T (л) _ дТ
J- В
J(X) j(x+dx)
х x+dx
Рис. 40.
/
dx
166
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
[ГЛ. IV
и формула (52.1) переходит в
; = (52.3)
Выражение (52.3) остается верным и в том случае, когда ось X направлена в сторону повышения температуры, так как в этом случае I = — dx, 1\ = Т (х -j- dx), Т2 — Т (х). Оно также справедливо и в общем случае неоднородной среды с совершенно произвольным распределением температуры, и притом не только слоистой среды, но и такой, свойства и температура которой являются функциями всех трех пространственных координат х, у, г. Достаточно в рассматриваемой точке пространства направить ось X в сторону максимального понижения или повышения температуры и рассмотреть бесконечно тонкий слой, перпендикулярный к этому направленню. Такой слой может считаться однородным, и к нему применима формула (52,3). Коэффициент теплопроводности х будет функцией всех трех пространственных координат х, у, г. В нашей одномерной задаче он будет зависеть только от одной пространственной координаты х: х = х (х).
