Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
172
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
[ГЛ. IV
2. Единственность решения сформулированной краевой задачи обусловлена тем, что коэффициент температуропроводности % есть величина существенно положительная. Для доказательства единственности решения допустим, что уравнение (54.1) имеет два решения: (л*, /) и Т2 (х, (), удовлетворяющие начальному
условию (54.2) и краевым условиям (54.3). Тогда дТу й°-7\ . , дТ2 ff-Tz . ,
W =5Са^г + <?/рс, -ж = %ыг + Я/рс-
Вычитая почленно и вводя обозначение 0 = ТЛ — Тг, получим
д& З'2© _. ..
т. е. функция © (х, f) удовлетворяет уравнению теплопроводности без источников. Кроме того, ясно, что эта функция удовлетворяет «нулевым» начальным и граничным условиям:
©,_о=0 при любых х, (54.5)
в,-о-О,
©Л-/ = О
при любых t. (54.6)
і
Рассмотрим интеграл / (/) = 02 dx. Ясно, что он ие может быть
б
отрицательным. Кроме того, ввиду (54.5), / (0) = 0. Найдем производную интеграла / (/) по времени:
і
dl dt
о
Интегрируя по частям, получим
ш=2У-вШ~2у-{ШСІХ-
о
Первое слагаемое в правой части обращается в нуль ввиду граничных условий (54.6). Второе слагаемое отрицательно или нуль,
так как Таким образом, С течением времени инте-
грал / может только убывать или оставаться постоянным. Первое невозможно, так как должно быть I (0) = 0, / (/) 0. Остается
единственная возможность ell dt = 0, т. е. / (/) = const = / (0) = 0. Зто возможно тогда и только тогда, когда 0 (л-, /) =0, т. е. 7\ (дт, і) = = Го (.г, /) Единственность решения доказана.
Рассуждая так же, легко показать, что теорема единственности справедлива и для задач со сферической или цилиндрической сим-
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ .'ІЛДЛЧИ. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
173
метрией. Она остается справедливой и для тел произвольной формы, когда Т зависит от всех трех пространственных координат. Доказательство проводится так же, только вместо простых интегралов надо пользоваться объемными и поверхностными интегралами. Это доказательство выходит за пределы нашего курса.
Если каким-либо способом удается найти или угадать решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее требуемым начальным и граничным условиям, то теорема единственности позволяет утверждать, что это и будет искомым решением задачи. Примеры на использование этого метода будут приведены в § 56.
3. Могут быть н такие задачи, в которых единственность решения обусловлена другими причинами. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Два теплоизолированных тела 1 и 2 с разными температурами соединены между собой однородным теплопроводящим стержнем, боковая поверхность которого также теплоизолирована. Начальные температуры тел равны соответственно Тю и 7’2П. Требуется найти закон изменения температуры этих тел во времени.
В такой формулировке задача содержит еще слишком много неопределенного. Для устранения неопределенности предположим прежде всею, что теплопроводность обоих тел очень велика (математически — бесконечно велика). Тогда выравнивание температур между различными частями тел будет происходить практически мгновенно. Поэтому в каждый момент времени / можно ввести определенные температуры Т] (/) н Т2 (I), характеризующие тела 1 и 2 в целом. Но этого еще недостаточно, чтобы задача стала полностью определенной. Необходимо еще ввести дополнительно некоторые предположения относительно стержня. Поток тепла через поперечное сечение стержня будет зависеть от начального распределения температуры в нем. Если начальная температура стержня равна 7\0, то на границе с телом 1 в стержне в начальный момент времени не будет никакого теплового потока, тогда как на границе с телом 2 поток тепла будет максимальным. Если стержень имел промежуточную температуру между 7\0 и Т2о, то начальный поток тепла будет как-то меняться вдоль стержня от сечения к сечению. Допустим, однако, что теплоемкость стержня пренебрежимо мала по сравнению с теплоемкостями тел С, и С2. По истечении некоторого времени в стержне возникает равномерное падение температуры, при котором поток тепла не будет изменяться вдоль стержня. За это время температуры тел 1 и 2, ввиду больших значений их теплоемкостей, практически не изменятся. Поэтому от процесса установления потока тепла в стержне можно отвлечься и считать, что с самого начала поток тепла вдоль стержня один и тот же во всех его сечениях. Тогда задача становится математически определенной, т. е. однозначной. Допустим для определенности, что 7\ > Т2. Поток тепла вдоль стержня от тела 1 к телу 2 равен
где S — площадь поперечного сечения стержня, I — его длина. Этот поток численно равен скорости убывания — dQx!dt тепла в теле 1 или скорости приращения - dQJdt тепла в теле 2. Считая теплоемкости С, и С2 постоянными, можно написать Qi = С{Г ъ Q2 = СгТ„. Это приводит к уравнениям
174
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
[ГЛ. IV
Почленное сложение уравнений (54.7) дает
Сі
dTx
dt
dT2
~~df
= 0,
или после интегрирования СХТХ + С2Га = const. Это уравнение выражает сохранение общего количества тепла, содержащегося в телах 1 и 2. В начальный момент Гх = 7\0, Г2 = Т2о, а потому
Cl7’i+C,7’s = C17’i0+C,7V (54.8)
