Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
2. Теорема, обратная только что доказанной, конечно, несправедлива. Сумма Т = ТЛ + Т.2 может быть решением уравнения теплопроводности (5.26), но слагаемые 7\ и Т., могут и не быть таковыми. Однако формально математически можно ввести комплексные решения. Пусть Т — комплексная функция, удовлетворяющая уравнению (52.6). Разобьем се на вещественную и мнимую части: Т — = Тх + ІТ.,, где Тг и Т2 — величины вещественные. Подставляя это выражение в уравнение (52.6) и отделяя вещественную часть от мнимой, получим
дТ j г>-7\ \ , .! дТ, &Т2 \ п
~дГ ~ *~д*г} +1 ГаГ “ * -ЩгУ=°-
Но комплексное число тогда и только тогда равно нулю, когда в отдельности равны нулю его вещественная и мнимая части, т. е.
dt 1 дх* dt '¦ дх-
Значит, если комплексная функция Т — 7\ 4- (Т., является решением уравнения теплопроводности, то вещественные функции Ту п Т2 также являются решениями того же уравнения. Справедливость этого утверждения связана с тем, что перс-
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ВОЛНЫ
177
менные х и t, а также коэффициент х — величины вещественные. Оно остается в силе для любых линейных однородных дифференциальных уравнений с вещественными коэффициентами и часто дает удобный метод отыскания вещественных решений таких уравнений. Проиллюстрируем это на примере так называемых температурных волн. Этот вопрос можно было бы рассмотреть и не выходя за пределы класса вещественных функций, но такой метод был бы громоздким и противоестественным.
3. Если в каком-либо месте среды температура периодически меняется во времени, то это приведет к периодическим изменениям температуры и во всех остальных точках среды. Рассмотрим простейший случай, когда среда однородна и заполняет полупространство, ограниченное плоскостью д: = 0. Ось X направим внутрь среды перпендикулярно к ее границе. Пусть температура на поверхности среды меняется во времени по синусоидальному или косинусоидальному закону, колеблясь вокруг некоторого среднего значения. Это среднее значение можно принять равным нулю, если условиться от него отсчитывать температуру. Так мы и поступим. При отыскании периодических решений уравнения теплопроводности вместо синуса или косинуса удобнее пользоваться комплексной показательной функцией, а затем с помощью известной формулы Эйлера (1707—1783)
eia = cos a і sin а (55.1)
перейги к вещественной форме решения. Рассмотрим комплексную функцию
Т-^Т(,е1'ы1~кх', (55.2)
где Г0, со и k — постоянные. Посмотрим, при каких значениях этих постоянных функция (55.2) будет решением уравнения теплопроводности. Дифференцирование дает
д1 = і© Г0е« kx> = ICO Г,
dt " ’
~ = — fc-7'пе1 =— k*T. дх3
Подставляя эти выражения в уравнение (52.6) и сокращая, получим
/со = — у к'1. (55.3)
Если выполнено это условие, то функция (55.2) будет решением уравнения (52.6), какова бы ни была постоянная Г0. Постоянную со мы выберем вещественной и положительной. Тогда постоянная k будет комплексной и может иметь два значения: _______ __
-*/?<1-0. (К.4)
В результате выражение (55.2) преобразуется в
I — X i fro' Ї l/"~ х)
Т— Тие У 2* Л У 2* >. (55.5)
Здесь содержатся два, а не четыре решения, гак как верхний знак должен комбинироваться с верхним, а нижний — с нижним. Из этих двух решений одно надо отбросить по физическим соображениям. Колебания температуры начинают возбуждаться на поверхности среды и передаются внутрь нее. Естественно, что эти колебания должны затухать, а не нарастать по мере удаления от поверхности среды. Между тем знаку плюс в формуле (55.5) соответствует экспоненциально
¦VI
растущий множитгль в стремящийся к бесконечности при я сю. Этот
знак не удовлетворяет условиям задачи, и надо сохранить только знак минус*
178
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
[ГЛ. IV
Далее, необходимо перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл. Как показано выше, всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным решениям. Из комплексного решения
(55.5) описанным выше способом получаются два решения в вещественной форме:
‘X COS \ Itit |/ ^A-j,
Т = Г, = 7V У 2* cos і со# — J/
(55.6)
Г S Г2 = Т0Є ' 2І ' sin (orf - A j. (55.7)
Можно было бы убедиться непосредственной подстановкой, что найденные
выражения являются решениями уравнения (52.6). Тогда отпала бы необходимость
в получении вспомогательного решения в комплексной форме (55.5). Но такой способ, как уже отмечалось, сложен и противоестествен.
4. Выясним теперь физический смысл полученных решений. Оба решения
(55.6) и (55.7) однотипны — синус всегда можно преобразовать в косинус пугем изменения начала отсчета времени. Поэтому достаточно ограничиться исследованием одного их них. Остановимся, например, на решении (55.6).
Если фиксировать а\ то видно, что в каждой точке пространства температура Т совершает во времени гармонические колебания е одним- и тем же периодом
2л „
т = . Фаза этих колебаний меняется от точки к точке. Поверхность равном
со
фазы ---
(at— у ^ *= const (55.8)
есть плоскость, параллельная поверхности среды. Она не остается на месте, а перемещается в направлении оси А' с определенной скоростью v. Поэтому возмущения, описываемые решением (55.6), называют температурной волной, а постоянную v — фазовой скоростью или просто скоростью этой волны. Скорость v легно найти дифференцированием уравнения (55.8). Эго дает
