Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
V г- (Ь5'9)
Длина температурной волны X есть расстояние, проходимое ею за период т
Она равна ____
ох..2л | . г/т. (55.10)
Амплитуда А температурной волны, как видно из формулы (55.6), затухает в направлении распространения но экспоненциальному закону:
Л = Г,.е"«\ (55.11)
гДе __ ' _
У/-со і Г л 2л .— |Г)
ч=У»- т- 153121
Постоянная а называется коэффициентом затухания температурной волны. На протяжении длины 1=— = 3- амплитуда волны убывает в е. раз.
ОС ZJX
/гг°- на,”,ти’ каким начальным и граничным условиям удовлетворяет х~Є()ІК условия получатся, если в формуле (55.6) положить сначала
и, а затем t = 0. Таким путем находим
Тх- о = Г0 cos соt, (55.13)
Гі о = Г0е \''Г-У. cos У ™ х. (55.14)
ТЕМПЕРАТУРИЫЕ ВОЛНЫ
179
На основании теоремы единственности (§ 54) делаем вывод, что единственным решением, удовлетворяющим этим условиям, является решение (55.С). В противоположность граничному условию (55.13) начальное условие (55.14) имеет весьма искусственный характер, и реальная физическая задача должна ставиться иначе. Возможна, например, следующая постановка. На поверхности среды в момент времени t 0 возбуждается, а затем поддерживаются неограниченно долго гармонические колебания, представляемые выражением (55.13). Никаких источников тепла внутри среды нет, начальное распределение температуры может быть каким угодно. Требуется определить, какие колебания температуры установятся в среде по прошествии достаточно длинного промежутка времени. Ответ дает формула (55.С). Действительно, по прошествии очень длинного промежутка времени все колебания температуры в среде затухнут, за исключением вынужденных колебании, поддерживаемых внешними источниками, причем эти вынужденные колебания должны обладать той же периодичностью во времени, что и колебания температуры па поверхности среды.
6. Применим выведенные результаты к тепловым волнам, возбуждаемым в поверхностном слое Земли суточными и годовыми колебаниями температуры ее поверхности. Для простоты будем считать, что колебания являются гармоническими. Реальные колебания, конечно, не гармонические. Но это мало существенно. Дело в том, что любое периодическое колебание можно представить в виде наложения гармонических колебаний кратных периодов, причем основное значение имеют низкочастотные колебания, поскольку коэффициент затухания растет пропорционально квадратному корню из частоты. Периодами таких низкочастотных колебаний в нашей задаче являются соответственно год и сутки. Глубины нропнкновеиия суточных и-годовых температурных волн-, согласно формуле (55.12), должны быть связаны соотношением
11 действительно, экспериментально было найдено, что колебания температуры, вызываемые нагреванием земной поверхности днем и охлаждением ночыо, не влияют на температуру Земли уже на глубине ~ 1 м. Годовые же колебания земной поверхности, связанные с нагреванием ее летом и охлаждением зимой, перестают наблюдаться на глубине ~ 20 м. Глубже температура Земли совершенно не зависит от температурных колебаний ее поверхности. Все это находится в полном соответствии с теоретической оценкой, приведенной выше. Вместе с тем мы видим, что глубина проникновения температурных волн пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли. Вот почему при вычислениях можно было совсем пренебречь сферичностью Земли и считать ее плоской.
Другое подтверждение теории дают наблюдения по скорости распространения тепловых волн вблизи земной поверхности. Наблюдения показали, что скорость распространения тепловых волн с периодом в одни сутки <д.\т составляет около 1 м сутки, а скорость волн с годичным периодом игод ~ 0,046 м, сутки. Отношение этих скоростей
тогда как по теории, оно должно быть
ожидать трудно хотя бы потому, что Земля не является одно--
180
TP [ 1ЛОНРОВОДНОСТЬ
[іл. iv
§ 56. Задача об остывании полупространства
1. Пусть однородная среда заполняет полупространство, ограниченное плоскостью .V- 0. В начальный момент времени / --- 0 температура среды всюду одинакова и равна Г,,. Температура на поверхности среды все время поддерживается постоянной и равна Т\ ф Тл. Таким образом, в начальный момент на границе среды температура испытывает скачок. Требуется найти распределение температуры Т (л', t) н среде во все последующие моменты времени. Эта задача была поставлена и решена В. Томсоном. Она является типичной краевой задачей, к которой применима теорема единственности, доказанная в § 54.
Направим ось А' внутрь среды перпендикулярно к ее границе. Распределение температуры описывается уравнением теплопроводности (52.6). Чтобы найти его решение, удовлетворяющее требуемым начальным и краевым условиям, воспользуемся сначала методом размерности. .Задача состоит в нахождении связи между переменными Т, х. 1 и параметрами Т„, Тл, у. Как видно из уравнения (52.ti), коэффициент температуропроводности у имеет размерность квадрата длины, деленного на время. Учитывая это, нетрудно стандартным способом показать, что из шести величин Т, х, t, Т0, '!\, у можно составить только три независи-
7 Г, х
мые безразмерные комбинации, например, „ , ¦ Согласно правилу раз-
