Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика" -> 77

Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика — Физматлит, 1970. — 565 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykurstermodinamika1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 240 >> Следующая

d ! dT\ А j * У. -Т 1 = 0. dx \ dx j
Из него следует, что х dT dx — const, или, ввиду (52.3), / = const. Постоянство плотности потока тепла справедливо независимо от того, однородна пластинка или нет. Рассмотрим теперь простейший случай однородной пластинки. В этом случае коэффициент х постоянен, а потому dT dx — const. Обозначая постоянную буквой А и интегрируя, получим
Т = Ах + В,
где В — вторая постоянная интегрирования. Температура поперек пластинки меняется с координатой х по линейному закону. Постоянные А и В совершенно не зависят от коэффициента теплопроводности. Они определяются из граничных условий. При х = 0 должно быть Т = 1\, а при х = / Т = Т.. Это приводит к системе уравнений
Тг = В, Т, - -А1 + В.
Определив из нее постоянные А и В, найдем распределение температуры:
T = T-~Tl х+Ті. (53.1)
2. Стационарное распределение температуры между двумя концентрическими сферами. Обозначим радиус внутренней сферы гх, а внешней — г.,. Пространство между сферами заполнено средой, коэффициент теплопроводности которой может зависеть от г. Из
170
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
[ГЛ. IV
(52.11) следует, что при отсутствии в среде источников тепла распределение температуры описывается уравнением
Оно дает xrhlTldr = const. Таким образом, плотность потока тепла / = —х dТ!dr меняетсяобратно пропорционально квадрату расстояния г. Так и должно быть, так как поток тепла через сферу радиуса г равен 4лг2/’, а этот поток должен быть одним и тем же для всех сфер. Допустим теперь, что среда между сферами однородна. Тогда коэффициент х будет постоянен, а потому г dTidr — const. Обозначая постоянную — А, получим dT/dr = —Alt3, или после интегрирования
Т = ~- + В.
Г
Постоянные интегрирования А и В определятся из значений, которые принимает температура Т на границах сферического слоя. Это приводит к системе уравнений:
Определив из нее постоянные Л и В, находим распределение температуры между сферами:
3. Стационарное распределение температуры между двумя концентрическими бесконечно длинными цилиндрами. Радиус внутреннего цилиндра обозначим г,, внешнего — г.,. Температуры их поддерживаются при постоянных значеннях Г, и Т.,. Стационарное распределение температуры между цилиндрами находится так же, как и в предыдущем случае. Если среда между цилиндрами однородна, то получается
1. Урановый шар радиуса R - 10 см, помещенный в сосуд с водой, облучается равномерным потоком нейтронов. В результате реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия q — 100 Вт/см3. Температура воды Т = 373 К, теплопроводность урана к — 400 Вт/(м-К-с). Найти станщшнарное распределение температуры в шаре, а также температуру в его центре.
Решение. В стационарном случае dT/dt = 0. В этом случае после однократного интегрирования уравнения (52.11) (с/— const) получим
А- + в, Т« = А-+В.
л " Г-2
rp f-2^2 — Т \Г \ I f\ri№\ — Ту) 1^
(53.2)
Ґ 2 — ґ 1 Г 2—/¦ Г
(53.3)
ЗАДАЧИ
йТ
'dr
§ 54І НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 171
Постоянная интегрирования С должна равняться нулю, так как в противном случае в центре шара мы почучили бы бесконечное значение для производной dThlr. Интегрируя вторично с учетом граничного условия Т = 7’0 при г = R, найдем
г—Г.+І («=-,.).
Температура в центре шара
Тс=т° + Ы=790 К-
2. По однородному цилиндрическому проводу без изоляции течет постоянный электрический ток. Определить стационарное распределение температуры в проводе, если его поверхность поддерживается при постоянной температуре Те.
Ответ. Т = Т0+ „!*-г- (R1 — г"), где / — сила тока, р — удельное со-
противление провода, R — радиус провода, г — расстояние до его оси. Все величины выражаются в единицах системы СГС
§ 54. Нестационарные задачи. Теорема единственности
1. Будем предполагать, что среда, в которой распространяется тепло, однородна, т. е. все параметры среды х, р, с,, не зависят от
координат. Будем считать также, что Они не зависят от времени и
температуры, т. е. являются постоянными. Когда температура Т зависит только от одной пространственной координаты х и времени, уравнение теплопроводное™ при наличии источников тепла имеет вид (52.8), или с учетом (52.3)
дТ д-т . . .. .... «,
f!C" ~ді + (54Л)
«Плотность мощности» источников тепла q должна считаться заданной функцией координаты и времени. Но заданием источников решение уравнения (54.1) еще не определяется однозначно. К нему необходимо добавить так называемые начальные и граничные условия. Типичные начальные и граничные условия состоят в следующем.
Начальное условие определяет температуру во всем теле в какой-то один момент времени, который удобно принять за начало отсчета времени. Это условие можно записать в виде
7Vo--/(.v), (54.2)
где f (х)— заданная функция координатах. Граничные условия определяют температуру тела на границе тела во все моменты времени. В одномерном случае тело имеет вид плоскопараллелыюй пластинки, ограниченной плоскостями х = 0 и х = /. Поэтому граничные условия запишутся в виде
Тх-0 = ф1 (0, (54 3)
Тл..,-Ф, (/),
где фх (/) и ф2 (/) — заданные функции времени.
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 240 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed