Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
dZ ~ [/ (®') / (v[) - / (v) f (®;)] (74.2)
Прежде чем идти дальше, заметим, что для доказательства соотношения (74.2) можно было бы и не пользоваться моделью твердых упругих шаров. Вместо этого можно было бы построить доказательство на основе общих свойств симметрии, которые свойственны законам механики. Поэтому дальнейшие рассуждения не зависят от специальных предположений относительно формы молекулы и сил, действующих между ними.
4. Потребуем теперь, чтобы среднее число скоростных точек в элементе объема скоростного пространства do не изменялось с течением времени, несмотря на столкновения. В выражении (74.2) скорость v следует считать фиксированной (точнее, конец вектора © должен лежать в пределах с/со). Напротив, скорости и направления линии центров могут быть какими угодно. Скорости ©', v\ однозначно определяются заданием v1 и направления линии центров. Среднее приращение числа скоростных точек в элементе dio за рассматриваемый промежуток времени найдется суммированием выражения (74.2) по всем возможным значениям скорости v1 и всем возможным направлениям линии центров. Чтобы среднее число скоростных точек в rfco не изменялось в результате столкновений, необходимо и достаточно, чтобы указанная сумма обращалась в нуль. Однако в состоянии хаоса, которым характеризуется тепловое движение молекул, надо потребовать большего. Надо, чтобы обращалась в нуль не только сумма в целом, но и каждое слагаемое (74.2) в отдельности. Смысл этого требования состоит в том, что в газе в состоянии хаотического движения должны компенсировать друг друга всякие два противоположно направленные процесса. Скорости таких противоположно направленных процессов должны быть одинаковыми. Это положение называется принципом детального равновесия. Если бы оно не выполнялось, то тепловое движение молекул в какой-то мере утратило бы беспорядочный характер и приобрело бы черты, свойственные упорядоченному движению. Принцип детального равновесия, разумеется, справедлив не только для газов, но и для любых систем в состоянии полного хаоса.
262
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
5. Следующий пример, принадлежащий Я. И. Френкелю (1894—1952), уясняет, почему установившееся хаотическое состояние является не просто состоянием статистического равновесия, а состоянием детального статистического равновесия. Пусть население какой-либо страны сосредоточено в городах, попарно связанных между собой железными дорогами. Жители путешествуют по этим дорогам, переезжая из города в город, причем среднее число жителей в каждом городе остается неизменным. Можно ли на основании этого утверждать, что среднее число жителей, переезжающих из одного произвольного города А в другой произвольный город В, равно среднему числу жителей, переезжающих в обратном направлении из В в А? Иными словами, можно ли утверждать, что рассматриваемое статистическое равновесие будет детальным? Нет, этого утверждать нельзя. Например, если число городов три —А, В и С, то постоянство числа жителей в каждом из них можно обеспечить путем движения пассажиров по замкнутому пути: из А в В, из В в С, из С в А и т. д. Однако такое перемещение населения не совместимо с представлением о хаотичности статистического равновесия, исключающей какое бы то ни было упорядоченное движение, в том числе и круговое. Дополняя пример Френкеля, допустим, что путешествия жителей не являются целенаправленными, а совершенно случайными. Пусть, например, житель города А, отправляясь в путешествие, бросает монету. Выпадение герба или решки, решит, в какой город ему ехать — в В или С. Так же поступает каждый житель городов В и С. Тогда неизменность среднего числа жителей в каждом из городов будет поддерживаться через детальное равновесие: число пассажиров, переезжающих в каком-либо направлении, в среднем будет равно числу пассажиров, едущих в обратном направлении.
6. Покажем теперь как из принципа детального равновесия выводится максвелловский закон распределения скоростей. Надо потребовать, чтобы обращалось в нуль выражение в квадратных скобках формулы (74.2). При этом надо принять во внимание, что функция f (?.') может зависеть не от самой скорости V, а от кинетической энергии е. Это приводит к уравнению
/(е')Ж)=/(є)/(єі).
или
/(е') _ f(4)
Ж fK) при дополнительном условии
е + е1 = е' + в1»
которое выражает закон сохранения энергии при столкновении. Для нахождения вида функции / (є) рассмотрим такие изменения аргументов, при которых е, и ej постоянны, а потому постоянна и разность є' — е. Тогда из уравнения (74.3) получаем
'4тт-^= const (74.4)
/ (е) '
при условии
е' — є = С — const,
где постоянная С может иметь любые значения. С аналогичным уравнением мы сталкивались в § 72. Только вместо частного / (є'),/ (є) там стояло произведение / (є') / (е), а вместо разности є' — є —
(74.3)
(74.3а)
ПРИНЦИП ДЕТАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
263
сумма е' + е. Но для применимости метода решения это несущественно. Поступая, как ц раньше, находим
/ (є) = Ае- ,
т. е. максвелловский закон распределения скоростей.
7. Небольшое изменение в рассуждении приводит также к теореме о равномерном распределении средней кинетической энергии между различными молекулами газа. Рассмотрим для простоты смесь двух газов. Величины, относящиеся к одному из газов, будем снабжать нижним индексом 1, величины, относящиеся к другому газу — оставлять без индекса. Детальное равновесие должно иметь место по отношению к любым процессам, в том числе и к процессам столкновений между одинаковыми молекулами. Поэтому к каждому газу в отдельности применимы рассуждения, приведенные выше. Из них следует, что функции распределения для обоих газов должны иметь вид
