Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сивухин Д.В. -> "Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика" -> 117

Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.

Сивухин Д.В. Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика — Физматлит, 1970. — 565 c.
Скачать (прямая ссылка): obshiykurstermodinamika1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 240 >> Следующая

/(е) = Ле_СС?, fi{Ei) = Aie~a‘Et. (74.5)
Постоянными а и определяются средние кинетические энергии молекул газа. Поэтому для доказательства теоремы о равномерном распределении кинетической энергии достаточно показать, что а = = аг. С этой целью рассмотрим столкновения молекул первого газа с молекулами второго газа и применим к ним принцип детального равновесия. Нетрудно показать (см. пункт 8 этого параграфа), что соотношение (74.1) сохраняет силу и для таких столкновений. Далее, надо принять во внимание, что относительные скорости в прямых и обратных столкновениях одинаковы по величине. На основании этих двух фактов можно утверждать, что средние числа прямых и обратных столкновений пропорциональны соответственно Ї (®) її (г,і) и / (v') fi (°i) с одним и тем же коэффициентом пропорциональности. Поэтому принцип детального равновесия приводит к уравнению
Дє)/і(єі)=/(є')/і(є0-
Подставляя сюда выражения (74.5), получим
а(г — г')=а1 (eJ-Ej).
С учетом закона сохранения энергии є + Ej = е' -(- или е — е' =
— Ej — К] отсюда находим а = ап.
8. В заключение остановимся на смысле и доказательстве соотношения (74.1) для столкновения шаров с различными массами т и Рассмотрим сначала частный случай, когда шары движутся вдоль линии центров. Тогда состояние движения в каждый момент времени может быть охарактеризовано импульсом первого шара р и импульсом второго шара рх. Геометрически такое состояние можно представить на плоскости изображающей точкой А, прямоугольными координатами которой являются числа р и соответственно. После столкнове-
264
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
ния изображающая точка переместится в новое положение А' с координатами р' н р[. На основании законов сохранения импульса и энергии
Р + Рі = Р' + РІ. (74.6)
/2
Е. (74.7)
Р'~ і Р 1 2 т ' 2/л,
А Pi
С' Л
\ Я'
Рис 56.
Отеюда видно, что А' лежит в точке пересечения прямой (74.6), наклонной под углом 135° к оси абсцисс, и эллипса с полуосями \г2тЕ и \г2т1Е, причем обе
эти линии пересекаются также и в точке А (рис. 56). Используя это, легко найти геометрическим построением положение точки А', если известно положение точки А.
Допустим теперь, что импульсы шаров до столкновения изменены, т. е. изменилось положение изображающей точки А, но направление линии центров осталось неизменным. Тогда изменится и положение изображающей точки А'. Но всегда положение А' однозначно определится, если известно положение А. Пусть точки А могут занимать любое положение в пределах произвольной области D. Тогда точки А' расположатся в пределах некоторой другой области, которую мы обозначим D'. Докажем, что площади областей D и D' равны между собой. Это утверждение является частным случаем весьма общей теоремы аналитической механики, известной под названием теоремы Лиувилля (1809—1882) и играющей важную роль в статистической механике.
Достаточно доказать наше утверждение для бесконечно малой области D произвольной формы, так как из таких бесконечно малых областей можно составить любую область конечного размера.
Возьмем два бесконечно близких подобных эллипса типа (74.7), отличающихся друг от друга значением энергии Е. Пересечем их двумя бесконечно близкими прямыми, наклоненными под углом 135г к оси абсцисс. В пересечении образуются два бесконечно малых параллелограмма, заштрихованных на рис. 57. Один из этих параллелограммов примем за область D,
другой — за область D'. Высоты этих параллелограммов, перпендикулярные к прямой АА', будут одинаковы, как это ясно из построения. Будут равны также и основания ААХ и А'А'. В этом легче всего убедиться, заметив, что наши подобные эллипсы могут быть получены из двух концентрических окружностей путем их равномерного растяжения или сжатия вдоль горизонтальной или вертикальной оси в одно и то же число раз. До деформации длины сторон А А, и А' А\ были равны, как это следует из геометрических свойств круга. Эго равенство сохранится и после деформации, так как при однородном одностороннем растяжении и сжатии длины параллельных отрезков изменяются в одинаковое число раз. Этим доказано равенство оснований, а следовательно, и площадей параллелограммов D и D’. Заметим, что форма самих параллелограммов D и D’, вообще говоря, разная.
Не представляет труда обобщить доказанную теорему на случай, когда сталкивающиеся шары имеют не только составляющие скорости вдоль линии центров,
§ 75] ЧИСЛО МОЛЕКУЛ, СТАЛКИВАЮЩИХСЯ СО СТЕНКОП СОСУДА 265
но и поперечные скорости, к ней перпендикулярные. Доказательство применимо и в этом случае, так как поперечные скорости при столкновении не изменяются. Только вместо двумерных областей Г) и D' появятся соответствующие области в шестимерном пространстве. Теорема состоит в том, что объемы этих шестимерных областей одинаковы. Наконец, все рассуждения останутся верными, если импульсы р и pj заменить соответствующими им скоростями.
§ 75. Среднее число молекул, сталкивающихся со стенкой сосуда
1. Среднее число ударов молекул о стенку сосуда в единицу времени можно оценить следующим простым способом. Пусть п — среднее число молекул в единице объема. Рассмотрим на стенке сосуда элементарную площадку dS и введем прямоугольную координатную систему XYZ (рис. 58). Ось X направим по нормали к площадке dS, оси Y и Z расположим в плоскости, перпендикулярной к этой нормали. Введем два упрощающих предположения: 1) скорости всех молекул одинаковы по величине; 2) молекулы движутся только параллельно координатным осям, а именно так, что одна шестая всех молекул движется в положи- Рис. 58.
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 240 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed