Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
тельном направлении оси X, одна шестая —
в отрицательном и аналогично для осей Y и Z. При таких упрощениях с площадкой dS будут сталкиваться только молекулы, движущиеся к стенке, т. е. в положительном направлении оси X. Число таких молекул в единице объема пх = 1За время dt с площадкой dS столкнутся все молекулы рассматриваемой группы, которые лежат внутри цилиндра с основанием dS и высотой v dt. Число молекул в этом цилиндре, движущихся к стенке, равно dz = nxvS dt — 1/GnvS dt. Среднее число молекул, сталкивающихся в единицу времени с единичной площадкой, будет
2 = 1/6/ш, (75.1)
2. Найдем теперь точное выражение для среднего числа ударов г. В газе в состоянии покоя все направления скоростей молекул равновероятны, т. е. распределены в пространстве изотропно. Найдем среднее число Nu молекул, направлення скоростей которых лежат в пределах телесного угла Q (рис. 59). Так как телесный угол, охватывающий все направления в пространстве, равен 4л, то ввиду указанной изотропии
і75-2)
266
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
где N — общее число молекул. В частности, для бесконечно малого
(75.3)
телесного угла
dN-ldQ.
Пользуясь формулой (75.3), определим среднее число молекул dN, скорости которых образуют с некоторым фиксированным направлением О А (рис. 60) углы, лежащие между ft in) і rift. Для этого
опишем сферу радиуса R с центром в точке О и построим два прямых круговых конуса с общей осью О А, образующие которых составляют с этой осью углы ft и ft — rift- Конусы вырежут на сфере кольцевую полоску, заштрихованную на рис. 60. Площадь полоски равна dS = = 2nR2 sin ft rift. Она видна из точки О под телесным углом riQ -= dS/R2 — 2.nsinft rift. Подставляя эго значение в формулу (75.3), получим
dN--
sin ft rift.
(75.4)
Теперь легко найти выражение для г.
Внешнюю нормаль к стенке примем за ось X (рис. 61). Угол между осью X и скоростью молекулы обозначим ft. Сначала предположим, что скорости всех молекул одинаковы по величине, а их направления распределены изотропно. Выделим группу молекул с А'-компоиентамп скоростей между Vx И Vx -г dvx.
Чтобы удариться о стенку, молекулы должны лететь к ней, а потому должно быть vx > 0.
Пусть dn — число таких молекул в единице объема. Число ударов о квадратный сантиметр стенки, производимых молекулами выделенной группы в одну секунду, равно гіг = dn vx =
= I’COS 0 dn. В этом легко убедиться, если произвести еще более детальную сортировку молекул по скоростям. Надо выделить молекулы с определенным направлением скорости и на площадке dS построить косой параллелепипед с боковой стороной v dt, как указано на рис. 61. Число ударов выделенных молекул о площадку dS за время dt найдется, если их концентрацию умножить на объем параллелепипеда dSvx dt. Затем надо просуммировать пс всем параллелепипедам, имеющим разные направления боковых сторон, но общую высоту vx dt. Разделив результат на dt, мы и придем к выражению dz = v cos 0 dn. Поскольку молекулы из числа dn характеризуются общими значениями v и vx, они движутся под определенным углом к оси X. Точнее, это
Рис. 61.
§ 75J ЧИСЛО МОЛЕКУЛ, СТАЛКИВАЮЩИХСЯ СО СТЕНКОЙ СОСУДА 267
есть молекулы, скорости которых образуют с направлением оси X углы между & и O' — М. По формуле (75.4) dn = 1/fn sin -0 dil, а потому
dz = 1/iHV sin ft cos ft d&.
Интегрируя это выражение по всем молекулам, летящим к стенке, т. е. в пределах от & = 0 до ¦& = л/2, получим
z — nvl 4.
Не составляет труда обобщить этот результат на случай, когда скорости молекул не одинаковы по величине, но их направления по-прежнему распределены изотропно. Разобьем все молекулы на группы со скоростями vr, и,, ... , vs. Пусть п„ пг, ... , п$ означают числа таких молекул в единице объема. Очевидно,
= ги ПіЩ-
По определению среднего
а потому
г = 74я -’и). (75.5)
При максвелловском распределении скоростей для (v) следует воспользоваться выражением (73.6). Это дает
<75-б>
3. Таким образом, отличие приближенной формулы (75.1) от точной (75.5) состоит только в том, что вместо коэффициента 76 надо брать коэффициент 1/4. На самом деле различие еще меньше. Действительно, чтобы значение кинетической энергии газа получилось правильным, под v в формуле (75.1) следует понимать среднюю квадратичную скорость, связанную с (v) соотношением <икв) =
= 1,08 (V).
В рассмотренной задаче получение точного выражения (75.5) не представляло большого труда. Но, как правило, задачи, которые приходится ставить и решать в кинетической теории газов, очень сложны. Их точные и строгие решение получить очень трудно и часто даже невозможно. Поэтому очень большое значение приобретают соотношения оценочного характера. При их выводе вводятся упрощающие предположения, сильно облегчающие вычисления и в то же время не затрагивающие существенные черты явлений. Обычно такого рода оценочные соотношения отличаются от точных выражений малосущественными численными множителями порядка единицы. Метод оценок в дальнейшем нами будет широко применяться.
268
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
4. С помощью формулы (75.6) можно оценить среднее число молекул, вылетающих в одну секунду при испарении с единицы поверхности жидкости или твердого тела, граничащей с вакуумом. Для этого сначала рассмотрим случай, когда тело граничит со своим насыщенным паром. При наличии пара идет не только испарение, но и обратный процесс конденсации молекул пара, летящих к поверхности тела. Молекулы, летящие из тела в область, занятую паром, или обратно, могут претерпеть отражение на границе тела. Но при оценках этим эффектом можно пренебречь. Если пар насыщенный, то имеет место детальное равновесие, при котором каждому потоку испаряющихся молекул от тела соответствует равный и противоположно направленный поток молекул пара к телу. Но среднее число молекул пара, ударяющихся о единицу поверхности тела, дается выражением (75.6). Таково же будет и среднее число молекул, вылетающих ежесекундно с единицы поверхности тела. Это число не изменится, если весь пар над телом удалить, гак как оно зависит только от состояния самого тела, а не от состояния окружающей среды. Под п в формуле (75.6) следует понимать число молекул насыщенного пара в единице объема. На этом основан метод измерения давления насыщенных паров тугоплавких металлов (см. задачу 10 к этому параграфу).
