Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
275
поле g не консервативно, то по крайней мере для некоторых контуров интеграл \ g dr будет отличен от нуля. Интеграл же от левой части (77.2) равен нулю по любому замкнутому контуру ввиду однозначности функции п (г). Получившееся противоречие и доказывает наше утверждение. Следует, однако, отметить, что потенциальность (консервативность) силового поля является только необходимым, но недостаточным условием равновесия газа (см. § 79, пункт 1).
Если Ёр — потенциальная энергия молекулы в силовом поле, то т (g dr) = def„ а потому
kTd\nn = — dep. (77.2а)
В этом виде в соотношении (77.2а) уже не осталось никаких признаков однородности и физической природы силового поля. Интегрируя, получаем
и Vй. (77.3)
Это важное соотношение называется законом распределения Больцмана или просто распределением Больцмана.
Применительно к однородному нолю тяжести, если от концентрации п перейти к давлению газа Р, формула (77.3) преобразуется в
Р Р0е 1 (77.4)
где и — молекулярный вес газа, a R — универсальная газовая постоянная. Эго — барометрическая формула, с которой мы имели дело в механике (см. т. I, § 92).
2. Приведенный вывод распределения Больцмана является чисто гидростатическим — в нем мы по существу отвлекаемся от молекулярной структуры газа, рассматривая его как сплошную среду. Это допустимо лишь для достаточно плотных газов при наличии большого числа столкновений. Требуется, чтобы средний пробег молекулы между двумя последовательными столкновениями был мал по сравненшо с толщиной dz слоя ABDC (рис. 64), который рассматривался при выводе распределения Больцмана. Только тогда имеет смысл говорить о давлении, с которым на слой dz действует окружающий газ. В недостаточности гидростатического вывода можно убедиться также с помощью следующих соображений. В гидростатическом выводе величины п и т входят в формулы не независимо, а только через плотность, т. е. в комбинации р = пт. Если в поле тяжести имеется смесь различных равномерно перемешанных идеальных газов, то согласно гидростатическому выводу такое состояние равномерного перемешивания должно неограниченно долго сохраняться и в дальнейшем, причем давление должно определяться барометрической формулой (77.4), в которой под и следует понимать средний молекулярный вес смеси. Однако эго заключение находится в противоречии с тем, что известно о свойствах идеальных газов.
276
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Поведение идеального газа е том или ином объеме совершенно не зависит от того, есть в нем другие идеальные газы или нет. В состоянии термодинамического равновесия концентрации различных газов в смеси должны убывать с высотой экспоненциально с различными экспонентами, определяющимися молекулярными весами соответствующих компонентов смеси. Концентрация легких газов должна убывать с увеличением высоты медленнее, а тяжелых — быстрее. По мере поднятия относительная концентрация легких газов должна возрастать. В действительности в пределах тропосферы этого не происходит. По это, конечно, не может служить реабилитацией гидростатического вывода, поскольку все наши рассуждения относятся только к случаю термодинамически равновесной атмосферы. В реальной же тропосфере происходят оживленные движения, приводящие к интенсивному перемешиванию ее нижних н верхних слоев.
3. Можно дать молекулярно-кинетический вывод закона распределения Больцмана, свободный от недостатков, присущих гидростатическому выводу. Приведем вывод, основанный на принципе детального равновесия. Оба доказательства закона распределения скоростей Максвелла, приведенные нами в §§ 72 и 74, можно без всяких изменении распространить на случай наличия потенциального силового поля. Поэтому можно считать доказанным, что в состоянии термодинамического равновесия скорости молекул газа в каждой точке пространства распределены по закону Максвелла с температурой Т, общей для всего газа. Влияние силового поля сказывается только па изменении концентрации молекул газа от точки к точке. Это значит, что средняя концентрация йп молекул газа, скорости которых лежат в пределах элемента объема йы скоростного пространства, определяется выражением вида
dn = nf(v)db), (77.5)
где функция f (v) определяется законом Максвелла (72.14), а концентрация молекул п зависит только от координат: п = п (г). Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что эта зависимость определяется формулой (77.3).
4. Предположим сначала, что силовое поле во всем пространстве имеет одно и то же направление, хотя его напряженность и может меняться в этом направлении. Рассмотрим две одинаковые бесконечно малые площадки ЛПВП и АВ, перпендикулярные к направлению поля. Пусть прямые А0А, В,.В и т. д., соединяющие соответственные точки площадок, параллельны полю. Отвлечемся сначала от столкновений между молекулами. Через каждую точку площадки Д,В(| проведем траектории молекул, проходящие через контур, ограничивающий вторую площадку АВ. (На рис. 65 проведены две такие траектории через точку А(1 и две — через точку В0-) Направления этих траекторий на площадке Л,Д, образуют телесный угол, величину которого мы обозначим d?i„. Выделим группу мо-
