Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
4. Несколько иной метод для изучения распределения атомов по скоростям применялся в опытах Цартмана, прибор которого изображен на схематическом рис. 63. В электрической печи помещается чистый легкоплавкий металл. При нагревании образуются пары этого металла, которые могут вылетать через узкое отверстие О. Прибор помещен в высоком вакууме. Благодаря малости отверстия О плотность паров металла в печи довольно велика. Там происходят многочисленные столкновения между атомами. Поэтому можно ожидать, что скорости атомов металла в печи будут распределены по закону Максвелла. Вне печи, где поддерживается высокий
§ 70J ОПЫТНАЯ ПРОВЕРКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МАКСВЕЛЛА 273
вакуум, атомы металла движутся практически без столкновений. Они проходят через узкие щели Sj и S., и попадают внутрь вращающегося цилиндра в те моменты, когда щель Ss расположена на одной прямой с щелями Sj и 5.,. Если бы атомы летели с бесконечно большими скоростями, то они попали бы в точку А цилиндра, диаметрально противоположную щели S;I. В действительности на прохождение диаметра цилиндра D атом затрачивает конечное время. Точка попадания смещается по поверхности цилиндра против вращения на расстояние
ыБ'Т D-со
2 — ~ЪГ'
где v — скорость атома, ш — угловая скорость вращения цилиндра. К внутренней стенке цилиндра прикреплена согнутая в дугу стеклянная пластинка АВ. Чтобы лучше задерживать атомы металла, пластинка предварительно покрывается тонким слоем того же металла и тщательно фотометрируется. Затем цилиндр приводят во вращение и включают печь. Опыт продолжается около 10 часов. После этого пластинка АВ с осевшими на ней атомами металла вынимается и снова фотометрируется. По степени почернения пластинки можно определить плотность распределения металла, сконденсировавшегося на ней. Вблизи точки А распределятся атомы металла с наибольшими скоростями, вблизи В — с наименьшими. Предположив, что скорости атомов в парах металла внутри печи распределены по закону Максвелла, можно заранее рассчитать плотность распределения исследуемого металла на пластинке АВ.
В опытах Элдриджа исследовались пучки атомов кадмия, в опытах Ламмерта — ртути, в опытах Миллера и Куша — калия и таллия, в опытах Цартмана — висмута. Все эти опыты оказались в превосходном согласии с максвелловским законом распределения скоростей. Этого и следовало ожидать в связи с тем, что было сказано в конце § 71.
ЗАДАЧА
В опыте Штерна (см. рис. 44) на поверхности вращающегося цилиндра С конденсируются молекулы серебра с различными скоростями. Каким скоростям молекул, попадающих на пластинку DD’, соответствует ее наибольшее почернение?
Р е пі е и и е. Если установка неподвижна, то молекулы конденсируются п точке D. При вращении всей установки молекулы со скоростями v попадают в D'. Смещение по дуге DD' равно х — C/v, где С — постоянная прибора. Число молекул dN со скоростями между v и v + dv, ежесекундно испускаемых источником А, пропорционально oF(v)do. Выражая dv через dx, представим его в виде dN — v:iF(i)dx. Отсюда видно, что линейная плотность распределения молекул, сконденсировавшихся на поверхности цилиндра, пропорциональна xFF(v), т. е. с5ехр (— tf/om). Эта плотность максимальна при v = Y гДе vm —наиболее
вероятная скорость.
274
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
С ¦ в
А
§ 77. Закон распределения Больцмана
I. В отсутствие внешних сил средняя концентрация молекул газа п в состоянии равновесия всюду одинакова. Но этого не будет-при наличии силовых полей. Рассмотрим, например, идеальный газ в однородном ноле тяжести. В состоянии теплового равновесия температура Т должна быть одинакова по всей толще газа. Иначе в газе возникли бы потоки тепла, направленные в сторону убывания температуры, и состояние газа не было бы равновесным. z+az Для механического равновесия необходимо, сверх того, чтобы концентрация молекул газа убывала z с увеличением высоты. Направим ось Z верти-
кально вверх и найдем закон изменения концентрации п с координатой z в состоянии теплового и механического равновесия. Выделим мысленно бес-Рис. 64. конечно короткий вертикальный столб газа ABDC
(рис. 64) с высотой dz. Пусть площадь основания столба равна единице. Вес столба nmgdz должен уравновешиваться
¦1Р
разностью давлений Pi — Pz =— clz dz. Это приводит к соотношению лр
d- = -mng. (77.1)
Подставляя сюда Р — nkT и принимая во внимание, что температура 7’ одинакова на всех высотах, получим
і ф d II
kT dz =~
или
kTd In п =-. — mg dz.
Для справедливости этого соотношения предположение об однородности поля тяжести, использованное при выводе, несущественно. Аналогичное соотношение можно получить н для неоднородного поля. Для этого надо написать условие механического равновесия части газа, заполняющей настолько малую область пространства, что в пределах этой области поле g может считаться однородным. Условие равновесия в этом случае удобнее писать в векторной форме:
kTdlnn =— m(gdr). (77.2
Физическая природа силового поля g также не играет роли. Оно не обязательно должно быть гравитационным, а может быть электрическим или каким-либо другим. Важно только, что поле должно быть постоянно и консервативно (потенционально). В неконсервативных полях равновесие невозможно. В этом нетрудно убедиться, интегрируя по замкнутому контуру обе части соотношения (77.2). Если
