Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧ И
1. Число ударов молекул о квадратный сантиметр стенки в одну секунду можно представить интегралом г : n^vxq>(vx)dvx, где интегрирование производится
по всем молекулам, летящим к стенке. (Предполагается, что стенка перпендикулярна к оси X.) Убедиться непосредственным расчетом, что при максвелловском распределении скоростей этот интеграл приводится к выражению (75.6).
2. В тонкостенном сосуде объема V, стенки которого поддерживаются при постоянной температуре, находится идеальный газ. Сосуд помещен в вакуум. Как будет меняться с течением времени концентрация молекул п газа внутри сосуда, если в его стенке сделать очень малое отверстие площади S *)?
Решение. Если отверстие S очень мало, то распределение скоростей исказится очень мало, т. е. останется изотропным и максвелловским. По формуле (75.5) получаем
d (Vn)=— ^ Sn (v) dt.
Интегрируя это уравнение, получаем
п = п^-Ч\ где t—W/S (v).
3. Откачанный тонкостенный сосуд, стенки которого поддерживаются при постоянной температуре, погружен в атмосферу идеального газа с постоянной концентрацией молекул я„, поддерживаемого при той же температуре. Как будет меняться с течением времени концентрация молекул газа внутри сосуда, если в его стенке сделать очень малое отверстие?
*) В задачах 2, 3, 4, 5, 7, 8 предполагается, что размеры отверстия и толщина стенки малы по сравнению с длиной свободного пробега (см. §§ 86 и 95).
§ 75] ЧИСЛО МОЛЕКУЛ. СТАЛКИВАЮЩИХСЯ СО СТЕНКОЙ СОСУДА 269
Ответ. я= нс(1—е >,х). Обозначения такие же, как и в предыдущей
задаче.
4. Полностью эвакуированный герметический сосуд помещен в атмосферу, состоящую из смеси двух газов, молекулярные псса которых относятся как 1 : 4, а отношение концентраций (т. е. чисел молекул в единице объема) равно а. Смесь газов вне сосуда поддерживается при постоянных давлении и температуре. В стенке сосуда оказалось малое отверстие, через которое оба газа стали очень медленно натекать и сосуд. Определить максимальное и минимальное значения отношения концентрации легкого к концентрации тяжелого компонентов газовой смеси в сосуде и моменты времени, когда достигаются эти значения.
Р с ш е н и е. Поступая, как в задачах 1 и 2, для отношения концентраций легкого и тяжелого компонентов внутри сосуда найдем выражение
где индекс 1 относится к легкому, а индекс 2 — к тяжелому компонентам. Времена г, и т2 связаиы соотношением т2 т, = 2. Учитывая его, найдем, что производная dP dt обращается в нуль, когда
и следовательно, когда Р = «] 2. Однако этому случаю соответствует не максимум и не минимум на кривой Р = Р (/), а точка перегиба. Максимальное и минимальное значения величина Р принимает на концах временного интервала (0, со). При t — 0 получается максимум Ршкс а т„ г, = 2а, при / =
- - оо — минимум Рм,ш — а.
5. Полностью эвакуированный тонкостенный герметический сосуд помещен в атмосферу кислорода, поддерживаемого при постоянной температуре и невысоком давлении Р. В стенке сосуда оказалось малое отверстие, через которое окружающий кислород стал натекать в сосуд. Через час давление газа в сосуде повысилось от нуля до Р 2. Какое давление было бы в том же сосуде через то же время, если бы после откачки сосуд был помещен в атмосферу водорода при тех же давлении и температуре?
Ответ. 15 1С Р.
6. Найти полную кинетическую энергию Е молекул идеального одноатомного газа, ударяющихся о квадратный сантиметр стенки в единицу времени.
Ответ. L «= я тп -.у3). Для максвелловского распределения
7. В тонкостенном сосуде, помещенном в вакууме, имеется очень малое отверстие, на которое извне направляется параллельный пучок одноатомных молекул, летящих с одной и той же скоростью с',„ перпендикулярной к площади отверстия. Концентрация молекул в пучке равна п,.. Найти в установившемся равновесном состоянии среднюю скорость (и), концентрацию молекул п и температуру Т газа в сосуде.
Решение. Из-за столкновений молекул со стенками сосуда и между собой внутри сосуда устанавливается максвелловское распределение скоростей. Условия сохранения числа частиц и кинетической энергии газа в сосуде имеют вид
е~*:т» = У 2—1,
V2nomu" = 71вптл (v)3.
270
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ VI
Используя их, а также формулу (73.6), находим
(«) = ]/
8. В тонкостенном сосуде, содержащем одноатомний идеальный газ при температуре Т, имеется очень маленькое отверстие, через которое молекулы вылетают в вакуум. Определить среднее значение <е) кинетической энергии вылетевшей молекулы в предположении, что за время опыта изменения числа молекул и температуры газа в сосуде пренебрежимо малы.
Ответ. ¦ в1 — 2кТ.
9. Определить, какая часть молекул идеального газа, столкнувшимся со стенкой сосуда за определенное время (например, за одну секунду), имеет кинетическую энергию, превосходящую ?.
Ответ. С4= ( 1 + ^ I е ~ Е/ *7 .
kl j
10. Вольфрамовая нить, испаряясь в высокий вакуум при температуре Т * 2000 К, уменьшается р, весе, как показали измерения, со скоростью q — -- 1,14-10 13г-с 1 - см ". Оценить давление насыщенного пара вольфрама при этой температуре.
