Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
2) V = 0,4 В. Катодом является тонкая прямолинейная нить, натянутая по оси цилиндрического анода.
/ еУ \
О т в е т. a = exp ^ J, где е —заряд электрона (по абсолютной величине).
1) а - 13,5%, 2)' а = l',S9o .
ПРИНЦИП ДЕТАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
259
§ 74. Другое доказательство закона распределения скоростей Максвелла. Принцип детального равновесия
1. Пусть в отсутствие силовых полей газ находится в закрытом сосуде, стенки которого поддерживаются при постоянной температуре. Если в какой-либо момент времени в газе создать какое угодно распределение скоростей между молекулами, то в результате столкновений молекул между собой и со стенками сосуда установится такое статистическое распределение молекул по скоростям, которое уже не будет меняться при дальнейших столкновениях. На этом основано второе доказательство закона распределения скоростей, данное Максвеллом. Оно существенно отличается от первого доказательства, приведенного нами в § 72, в котором представление о столкновениях совсем не используется. Мы приводим второе доказательство Максвелла главным образом потому, что в основе его лежит принцип детального равновесия — положение, имеющее самостоятельное значение и играющее большую роль в различных разделах физики. Будем считать, что молекулы при столкновениях ведут себя как идеально твердые и упругие шары. Такое предположение сильно упрощает доказательство, хотя оно и не является обязательным.
2. Рассмотрим две группы молекул, скоростные точки которых лежат в элементах объема сім и с!ш, пространства скоростей с центрами в точках v и соответственно. Если N — общее число молекул в сосуде, то средние числа молекул в рассматриваемых группах будут dN — Nf (v) dсо и dN1 = Nf (¦»,) dcox. Рассмотрим столкновения молекул первой группы с молекулами второй группы и притом такие, у которых линия центров (т. е. прямая, соединяющая центры шаров в момент столкновения) имеет какое-то фиксированное направление в пространстве, точнее, лежит в пределах бесконечно малого телесного угла dQ, с фиксированным направлением его оси. Среднее число таких «прямых» столкновений будет пропорционально произведению dN dNlt а с ним и произведению / (®) / (©,) dm dсох.
В результате каждого «прямого» столкновения скорости v и vy сталкивающихся молекул изменяются и переходят в v' и и[ соответственно. Скоростные точки молекул первой группы перейдут из элемента объема dcо в элемент объема сЬ/ скоростного пространства с центром в точке її’; скоростные точки молекул второй группы перейдут соответственно в элемент объема dci/, с центром в точке v\. При столкновении молекулы обмениваются нормальными скоростями, т. е. скоростями, параллельными линии центров; их касательные скорости, т. е. скорости, перпендикулярные к линии центров, остаются без изменения. Если линию центров принять за ось X, то v'x = vlx, = vx. Отсюда dv'x = dvlx, dv[v — dvK, а потому dv'x dv'lx = dvx dvlx. Мы видим, что в результате столкновения произведение di\ dvlx остается неизменным, хотя dvx и dvlx могут
260
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
изменяться. А так как поперечные размеры объемов dio и ricot не меняются, то произведение cfco d(»l также остается неизменным:
dot d<», = dot' dw[.
(74.1)
3. Назовем обратными такие столкновения, которым соответствует то же самое направление линии центров и которые переводят скоростные точки сталкивающихся молекул из элементов объема
Прямые столкновения
а) До столкновения
6) После столкновения
Обратные столкновения
1-3W в) До столкновения
г) После столкновения
Рис. 5Б.
do/ и d(<>\ в исходные элементы do) и d(ot соответственно. Нетрудно найти по заданным прямым столкновениям обратные. На рис. 55, а и б изображены скорости молекул 1 и 2 до и после столкновения. Эти столкновения будем рассматривать как прямые. Скорости молекул мосле столкновения легко найти, если все скорости разложить на нормальные и касательные компоненты. Переставим теперь местами молекулы 1 и 2 и допустим, что перед столкновением они имели скорости и v\ (рис. 55, б). Теперь молекула 2 становится ударяющей, а молекула 1 — ударяемой. Построив скорости после столкновения (рис. 55, г), найдем, что они примут исходные значения v и ©j. Таким образом, столкновения 55, в являются обратными по отношению к столкновениям 55, а и наоборот.
Число обратных переходов скоростных точек из элементов объема dto' и dcul скоростного пространства в элементы do и dot, того же
ПРИНЦИП ДЕТАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
261
пространства пропорционально f (v') f (v\) dio' do)[ или ввиду соотношения (74.1) / (v’) f (©J) dо) йщ. Из соображений симметрии следует, что коэффициент пропорциональности один и тот же для прямых и обратных переходов. Каждое прямое столкновение уводит скоростную точку из элемента объема скоростного пространства с/со, каждое обратное столкновение вводит в тот же объем какую-то другую скоростную точку. Увеличение среднего числа скоростных точек в элементе da в течение какого-то промежутка времени t в результате прямых и обратных столкновений рассматриваемого типа пропорционально
