Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
исходя из решения задачи на собственные значения для выведенного Брейтом
[3] уравнения, которое остается релятивистски инвариантным и во втором
порядке теории возмущений. С помощью прямых выкладок он показал, что,
когда число электронов нечетно, из одного решения уравнения Брейта можно
получить другое, отличное от первого.
В настоящей работе предпринимается попытка дать несколько более общее
обоснование результатов Крамерса, в частности показать, что используемая
им операция представляет собой не что иное, как операцию обращения
времени. Эту операцию мы включим в обычную теоретико-групповую схему
уровней энергии, что, как мы увидим, не совсем тривиально вследствие ее
нелинейности.
Известно, что многие важные общие свойства квантово-механических систем,
в особенности те, которые представляют интерес для спектроскопии, тесно
связаны с симметрией систем. Чтобы мы могли воспользоваться соображениями
симметрии, рассматриваемый уровень энергии должен обладать лишь конечным
вырождением. Для системы, свободно перемещающейся в пространстве
(например, для атомов), это условие заведомо не выполняется вследствие
непрерывного спектра, обусловленного движением системы как целого. К
решению возникшей проблемы существует два подхода: во-первых, можно
считать, что ядра не принадлежат интересующей нас системе и связаны с
фиксированными точками пространства; во-вторых, можно
*) Из журнала: Nachr. Gesell. der Wissen., Mathematisch-Physikalische
Klasse, Heft 5, 546 (1932).
2) В последнее время результаты Крамерса с большим успехом применил Ван-
Флек [2] к проблеме парамагнетизма.
21. Об операции обращения времени в квантовой механике
263
ввести дополнительное условие, запрещающее системе свободно перемещаться
в пространстве,- потребовать, чтобы система обладала не только строго
заданной энергией, но и нулевым полным импульсом >). При рассмотрении
атомов оба подхода приводят к одинаковым результатам. При изучении
молекул первый подход используют в тех случаях, когда основной интерес
представляют электронные уровни, а второй - когда желательно учесть
движение ядер. Поскольку в действительности ядра не связаны с
фиксированными точками пространства, первый подход позволяет получать
лишь приближенные результаты 2).
В своей работе мы покажем, что установленные Крамерсом свойства связаны с
разновидностью симметрии, не рассматривавшейся ранее. Наши результаты
применимы в обоих только что названных подходах, которые мы для удобства
будем называть просто первым (фиксированные ядра) и вторым (нулевой
полный импульс).
2. Рассмотрим систему, свободно перемещающуюся в пространстве. Если
внешних полей нет, то ее группой симметрии будет неоднородная группа
Лоренца, а в нерелятивистском случае- неоднородная группа Галилея,
которые помимо обычных преобразований Лоренца или Галилея содержат еще
сдвиги в пространстве и времени (х/ = х,- + а4). При рассмотрении
системы, не обладающей способностью свободно перемещаться в пространстве,
симметрия задачи, естественно, уменьшается.
При первом подходе неподвижные центры притяжения прежде всего определяют
состояние абсолютного покоя. Тем самым исключаются преобразования, при
которых исходная и конечная системы координат движутся относительно друг
друга. По аналогичным причинам отпадает и большинство чисто
пространственных преобразований. Остаются лишь те преобразования, которые
входят в группу симметрии решетки, образуемой центрами притяжения (раньше
их также всегда включали в рассмотрение). Кроме того, существуют еще и
чисто временные преобразования t' = t + to и ? = -t. Если рассматриваются
одни лишь сдвиги во времени, то задание энергии однозначно
- iEtJh
определяет представление е , которому принадлежит состояние. Из свойств
этой симметрии, в частности, следует, что состояния с точно заданной
энергией не меняются со временем. Таким образом, преобразования t'=t + t0
не позволяют прийти к каким-либо новым заключениям, и нам не остается
ничего
') Как известно, в отсутствие внешних полей требование, чтобы энергия и
полный импульс системы имели фиксированные ("точные", неразмазанные)
значения, вполне допустимо.
2) Обоснование этого подхода см. в работе Борна и Оппенгеймера [4].
264
Дополнение
другого, как заняться изучением преобразования t' - -t, выражающего
обратимость времени. Как мы увидим далее, именно это преобразование
приводит к правилам Крамерса. Разумеется, об обратимости времени можно
говорить лишь тогда, когда внутреннее движение центров притяжения не
влияет на направление времени и, в частности, когда они не создают
магнитное поле1). Что же касается полей, обусловленных спином ядер, то
они очень слабы, и в первом приближении ими вполне можно пренебречь (наши
рассмотрения и без того носят лишь приближенный характер).
Аналогичная ситуация возникает и при втором подходе. Действительно, если
в некоторой системе координат полный импульс системы равен нулю, то эта
