Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Кронига. Нетрудно видеть, что в этом случае разумный нерелятивистский
предел также не существует. Отсюда ясно, какой должна быть интерпретация
истинных представлений группы Галилея (т. е. для которых при всех г и s
справедливо соотношение UrUs = ±Urs): они служат нерелятивистским
пределом релятивистских частиц с пространственно-подобным импульсом, для
которых нарушается принцип причинности.
Чтобы полностью задать представление (или эквивалентное ему уравнение),
необходимо помимо массы указать еще спин частицы 5. Если масса, покоя
положительна, то частицу можно считать покоящейся, и тогда число ее
состояний равно 2S + 1. Число состояний при любом заданном импульсе также
равно 25 + 1. Если же масса покоя равна нулю, то при всех 5 >¦ 1/2
существуют лишь два различных состояния частицы. Частицу с нулевой массой
покоя, разумеется, нельзя рассматривать в системе покоя. Тем не менее,
столь сильное различие в поведении
[13]:
dj = gima-v. СО = eiSa'v; со=1; со = 1;
254
Дополнение
частиц с нулевой и конечной массами покоя следует объяснить несколько
подробнее.
Если частица находится в состоянии покоя и спин ее в любом направлении
имеет вполне определенное значение, то 25 + 1 состояний частицы можно
получить, наблюдая ее из систем координат, получающихся из исходной
системы координат после соответствующего поворота. Однако если частица
движется очень быстро, т. е. если пространственная и временная компоненты
ее импульса почти равны, а ее спин имеет вполне определенную проекцию на
любое направление движения частицы, то ситуация становится инвариантной
относительно вращений. Чтобы заметно изменить спин в направлении
движения, частицу необходимо рассматривать в системе координат,
относительно которой она находится почти в состоянии покоя, т. е. ее
скорость существенно меньше скорости света. Если масса покоя частицы
равна нулю, то этого сделать нельзя. Следовательно, спин частиц с нулевой
массой покоя в направлении их движения является релятивистской
характеристикой таких частиц. То обстоятельство, что частицы с нулевой
массой покоя имеют вместо одного два направления поляризации, обусловлено
симметрией относительно отражения. Отражение переводит спин 5 в
направлении движения частицы в спин -5 в том же направлении. В случае
конечной массы покоя состояние -5 (так же как и все остальные
направления) можно также получить, применив вращение; четность есть
отношение векторов состояния, полученных при вращении и отражении.
Поскольку при нулевой массе покоя состояние -5 нельзя получить из
состояния 5 вращением, частицы с нулевой массой покоя не имеют четности
или, точнее, обладают состояниями, которые являются одновременно и
четными и нечетными относительно отражения при одних и тех же энергиях и
импульсах. Имеется лишь одно исключение: частица Клейна - Гордона (5=0)'.
Для нее отражение не порождает нового вектора состояния, а воспроизводит
со знаком плюс или минус исходный.
Поляризация быстро движущейся частицы под действием не слишком "сильного"
преобразования Лоренца почти не меняется; это особенно легко видеть на
примере электрона Дирака. Если состояние с положительной поляризацией в
направлении движения разложить по собственным функциям оператора у -
iytyxYyyz, то модули коэффициентов будут равны
pt + m + p pt + m-p .g.
[4р/(р* + m)]'k ' [4Pi (Pt + т)]'1г '
Вектор состояния, для которого у = 1, останется вектором с у = 1 и после
выполнения преобразования Лоренца. То же верно и для вектора состояния с
у = -1. Если коэффициент
20. Релятивистская инвариантность уравнений квантовой механики 255
при первом векторе практически равен 1, то и после преобразования
Лоренца, не изменяющего длину вектора с у = 1, этот коэффициент останется
близким к 1. Отсюда следует, что при таких преобразованиях Лоренца
поляризация существенно не изменится.
Это можно выразить и иначе, показав, что интересующее нас свойство
является свойством группы Лоренца и не зависит от выбора ее
представления, т. е. выполняется при всех значениях спина. Рассмотрим
частицу, находящуюся в состоянии покоя и поляризованную в направлении оси
г. Подвергнув частицу преобразованию Лоренца с гиперболическим углом а,
сообщим ей скорость в направлении оси 2. Позднее мы будем считать, что
этот угол очень велик и что частица "сильно" релятивистская, пока же мы
получили частицу, поляризованную в направлении движения, которое
совпадает с осью 2. Чтобы получить частицу, поляризованную в направлении
своего движения, но уже движущуюся в каком-то другом направлении,
необходимо сначала произвести поворот и добиться желаемого направления
поляризации, а затем сообщить частице скорость в нужном направлении.
Релятивистскую инвариантность утверждения о том, что частица поляризована
в направлении своего движения, можно проверить следующим образом.
Частице, движущейся в направлении оси 2 и поляризованной в том же
направлении, сообщим скорость в направлении оси х, подвергнув ее
