Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
система координат выделена, и ее можно считать покоящейся. Это означает,
что из чисто пространственных преобразований мы должны вычеркнуть сдвиги,
поскольку система с нулевым полным импульсом принадлежит к тривиальному
представлению группы сдвигов, т. е. вообще не изменяется при сдвигах. С
остальными чисто пространственными и чисто временными преобразованиями
все обстоит так же, как и в уже рассмотренном нами первом случае.
Единственное отличие заключается лишь в том, что теперь чисто
пространственные преобразования обычно (в отсутствие внешних полей)
порождают всю группу трехмерных вращений.
Итак, мы видим, что как первый, так и второй подход к
квантовомеханической задаче, помимо рассматривавшихся ранее элементов
симметрии (чисто пространственных преобразований), содержит еще один
элемент симметрии - обращение времени. Исследованием этого элемента
симметрии (только в нерелятивистском случае!) мы и займемся в дальнейшем.
3. Прежде всего необходимо выяснить, какая операция К переводит
волновую функцию ср в волновую функцию /Сер такого состояния, которое
отличается от состояния, описываемого функцией ф, направлением времени:
прошлое Аф совпадает с будущим ф, а будущее /Сф тождественно прошлому ф.
Предположим сначала, что мы действуем в рамках упрощенной теории
Шредингера, не учитывающей спина частиц. Тогда функция Ф = ф(хь х%, •••,
хп) зависит лишь от декартовых координат частиц.
В используемом нами упрощенном варианте теории Шредингера операция К, как
известно, совпадает с операцией комплексного сопряжения: /Сф=ф*. Однако
мы сохраним за
') Условия, при которых время "обратимо", можно найти в работе Онза гера
[5]. Предположение относительно обратимости времени играет существен ную
роль в наших рассуждениях.
21. Об операции обращения времени в квантовой механике 265
(Операцией обращения времени обозначение К и будем использовать лишь
следующие три ее свойства:
К2 ф = ф, К2= 1, (I)
К (шр + Ьт!р) = ц*/Сф + Ь7Сф, (II)
(Ф, ф) = (ф, ф)* = (/С-ф, /Сф), (III)
или
(/Сф, Ф) = (Ф. Кф)* = (/Сф, Ф). (Ша)
[Здесь (и, v) означает эрмитово скалярное произведение функций и и о, т.
е. интеграл от u*v по всему конфигурационному пространству.] Оказывается,
что при четном числе электронов результаты, полученные нами, полностью
справедливы и для теории, учитывающей спин. Единственное различие состоит
лишь в том, что К будет означать не обычный переход к комплексно
сопряженному выражению, а некоторую другую операцию, также обладающую
свойствами (I) - (III). Из равенства (И) следует (и это существенно для
дальнейшего), что оператор К нелинеен. Все остальные операторы линейны, и
мы не всегда будем особо подчеркивать последнее обстоятельство.
Функция вещественна, если /Сф = ф, и мнима, если /Сф = -ф. Линейный
эрмитов оператор А называется вещественным, если он переводит
вещественную функцию в вещественную. Вещественный оператор, очевидно,
переводит комплексную величину в комплексно сопряженную, вследствие чего
Л/Сф = /СЛф, АК = КА, А = КАК. (1)
Мнимый оператор В переводит вещественную функцию в чисто мнимую и, таким
образом, удовлетворяет соотношению
В = - квк. (2)
Из соотношения (1) в силу обратимости времени следует, что если ф -
собственная функция оператора А, то /Сф - также собственная функция.
Функции ф и /Сф можно заменить вещественными функциями ф+/Сф и I (ф-/Сф).
Отсюда ясно, что все собственные функции, не ограничивая общности, можно
считать вещественными. Следовательно, оператор энергии должен быть
вещественным (к такому же заключению' мы приходим, рассматривая оператор
Шредингера).
Аналогичные утверждения справедливы для всех чисто пространственных
преобразований симметрии. Произведем ли мы сначала поворот Q, а затем
операцию обращения времени или, наоборот, сначала обратим время и лишь
затем произведем поворот,- результат (состояние) будет один и тот же.
Следовательно, для всех ф
KQq> = c^QKy, (3)
266
Дополнение
где сФ - константа, равная по модулю 1; для различных волновых функций
она могла бы быть разной. Покажем, что коэффициент ciP одинаков для всех
волновых функций. Если бы коэффициент сф отличался от то в силу
линейности Q следовало бы, что
KQ (ф + Ф) = /С<Эф + /С<ЭФ = сфСЖф + c^Q/Ct = = Cq+^QK (ф + Ф) = Сф+фф/Сф
+ Сф+^/Сф,
откуда
Заменим далее оператор Q оператором 0 = Yc<fQ; тогда
/СОф = О/Сф. (За)
Следовательно, оператор О веществен. В упрощенном варианте теории
Шредингера это также естественно, поскольку операциями симметрии в ней
служат вещественные преобразования аргументов волновых функций.
Вещественный характер волновых функций и операторов имеет решающее
значение при рассмотрении элемента симметрии f - -t. Вещественны вообще
все операторы, которые либо не содержат времени, либо содержат лишь
четные степени t (ибо для таких операторов их средние значения для ф и
/Сф равны). Следовательно, операторы координат и функций координат,
квадрата скорости, кинетической и полной энергии и т. д. вещественны.
