Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
назвать эти системы "элементарными". Отдельные частицы являются лишь
наиболее важными физическими системами этого типа. Более подробно о
понятии элементарной системы см. в работе [8]. -
20. Релятивистская инвариантность уравнений квантовой механики 249
тезимальный оператор имеет вид H[i, где Я- некоторый самосопряженный
оператор. Отсюда для вектора состояния Ф получаем известное уравнение
Если фй и Vfc - собственные функции и собственные значения оператора Я,
то общее решение уравнения (1) можно записать сразу же. Оно имеет вид
Ф= % ake~lVkt$k, (la)
где - произвольные постоянные. Это - полное решение уравнений движения,
однако его нельзя назвать полным решением физической проблемы, поскольку
физические свойства состояний фй неизвестны. Иными словами, уравнение
(1а) говорит о том, как происходит движение, но умалчивает о том, что
движется.
Здесь решающее значение приобретает связь между оператором сдвига во
времени и другими релятивистскими операторами. Из нее мы, например,
узнаем, что инфинитезимальные операторы сдвигов вдоль пространственных
осей iPx, iPy, iPz коммутируют с оператором Я, ибо независимо от того, в
каком порядке мы будем производить сдвиги в пространстве и во времени,
результат получится один и тот же. Из этого замечания следует, что все
ф&, которые переходят друг в друга под действием сдвигов, отвечают
одинаковым собственным значениям Vfc. Сам по себе этот результат
тривиален, но рассмотрение собственных преобразований Лоренца и вращений
приводит к более значимым результатам и позволяет устанавливать физически
важные свойства собственных функций ф;(, если набор операторов,
соответствующих всем релятивистским преобразованиям, неприводим [8]. В
этом и заключается сущность той позиции, с которой я хочу сравнить
классическую и релятивистскую квантовую теорию.
Обозначим через Ur и Us унитарные операторы, соответствующие двум
релятивистским преобразованиям г и s (ими, например, могут быть уже
упоминавшиеся сдвиги). Тогда оператор Urs, отвечающий произведению rs
двух релятивистских преобразований, очевидно, будет удовлетворять
соотношению
Urs=UrUs.
Чрезвычайно важен тот факт, что это соотношение не является необходимым
следствием основных постулатов квантовой теории и инвариантности
уравнений. Наоборот, поскольку векторы состояния содержат неопределенный
множитель,
250
Дополнение
квантовая теория и соображения симметрии приводят лишь к соотношению
Urs = а (г, s) UrUs, (2)
где со (г, s) -функция (с-число), зависящая от г и s. В математике об
унитарных операторах, удовлетворяющих равенству (2), говорят, что они с
точностью до множителя образуют (унитарное) представление группы
симметрии. Поэтому весь последующий анализ будет основан на рассмотрении
представлений (с точностью до множителя) группы классической механики
(галилеевой группы), группы специальной теории относительности
(неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре), группы симметрии
пространства де Ситтера и т. д. Начнем с классической теории.
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
В этом случае группа симметрии состоит из преобразований симметрии
евклидова пространства, т. е. из вращений и сдвигов и преобразований
Галилея, т. е. преобразований, описывающих переход к движущейся системе
координат. В матричной записи все названные преобразования имеют вид
'*11 *12 *13 ах~ X х'
*21 *22 *23 иУ ау У У'
*31 *32 *33 Vz az г = Z'
0 0 0 1 at t t'
_ 0 0 0 0 1 _ 1 _ _ 1 _
Будучи примененной к вектору с компонентами х, у, z, t, 1, такая матрица
порождает вектор, последняя компонента которого снова равна 1. Эта
компонента не имеет физического смысла и вводится исключительно из
соображений математического удобства. Первые же четыре компоненты вектора
х', у', z', t', 1, получающегося из вектора х, у, z, t, 1 при действии
нашей матрицы, указывают значения преобразованных координат х', у', z',
t'. Величины R называются компонентами матрицы вращения; они описывают
поворот, содержащийся в обобщенном преобразовании Галилея; vx, vy, vz -
компоненты скорости второй системы координат относительно первой, а
параметры а - сдвиг начала второй системы относительно начала первой во
времени и в пространстве. Группа матриц вида (3) называется группой
Галилея. Это и есть группа симметрии классической механики. Исследование
представлений с точностью до множителя группы Галилея приводит к
удивительному результату [11]: существует два и только два типа пред-
20. Релятивистская инвариантность уравнений квантовой механики 251
ставлений. Первый тип - простейший из возможных: операторы такого
представления удовлетворяют соотношению UrUs=Urs, где г и s - любые два
преобразования Галилея. В частности, если г - пространственный сдвиг, a
s- переход к движущейся системе координат, то Иг и Us коммутируют. В
представлениях второго типа пространственные сдвиги и переходы к
движущейся системе координат не коммутируют: произведения этих
операторов, взятых в различном порядке, отличаются множителем
