Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Этюды о симметрии" -> 128

Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Этюды о симметрии — М.: Мир, 1971. — 319 c.
Скачать (прямая ссылка): etudiosimetrii1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 150 >> Следующая

то соответствующие собственные функции невещественны. Функции /(фь . .. ,
/(фг принадлежат тому же собственному значению, что и функции фь ..., фг,
однако в отличие от ранее рассмотренного случая их нельзя представить в
виде линейных комбинаций функций фь ..., ф/. Из равенства (5) и
соотношения (За) находим
i
КОяух = ОяК\ = 2 D* {R)Mk- (8)
Х=1
В случае "б" представления D и D* неэквивалентны и, следовательно,
функции /Сфи, принадлежащие представлению D*, ортогональны функциям фи.
Существование элемента симметрии К удваивает вырождение: одному и тому же
собственному значению принадлежат два уровня, отвечающие различным
(комплексно сопряженным) представлениям. Вместо равенства (7) в
рассматриваемом случае справедливо равенство
(Фг. ЛФ/Г = (/(Ф;. /С4ф;) = (/(фь Л/СФ/)- (9)
Таким образом, если оператор веществен и эрмитов, то при замене
собственных функций комплексно сопряженными функциями матричный элемент
переходит в комплексно сопряженную величину. Если в случае "б"
вещественный или мнимый оператор обладает симметрией задачи, то это (как
и в случае "а") позволяет выявить некоторые дополнительные его свойства.
В случае "в" новый элемент симметрии - операция обращения времени -
приводит к дополнительному вырождению: два собственных значения,
принадлежащих одному и тому же представлению, совпадают. Мы не будем
рассматривать здесь случай "в" более подробно еще и потому, что
трехмерная группа вращений не обладает подгруппой, у которой было бы лишь
одно однозначное представление описываемого типа. Результаты, к которым
мы бы пришли, аналогичны результатам, полученным в случае "а" с учетом
спина при нечетном числе электронов.
270
Дополнение
6. Рассмотрим теперь теорию, учитывающую спин электрона [8]. Прежде
всего мы должны снова определить операцию К - "обращение времени".
Операция К не должна изменять статистику расположения частиц в
пространстве, ибо противоположно направленные (но равные по величине)
скорости и спины для ф и /Сф должны иметь одинаковую вероятность.
Оператор К может быть либо унитарным оператором, либо произведением
унитарного оператора и оператора перехода к комплексно сопряженной
величине. В действительности осуществляется лишь вторая возможность ').
Итак, К = К Ко, где U - линейный унитарный оператор, а Ко означает
переход к комплексно сопряженной величине. 6 силу сказанного выше,
операторы х, у, г коммутируют с К:
хф = КхК<9 = UKoxKoU~1q> = UxU~\\
УФ= UyU~ly, 2чр = ?Лг?/-1ф,
а операторы рх, pv, pz и sx, sy, sz антикоммутируют с К: h д т," h
д .. т.-\ -I h д г,-1
2яг дх ф ~ 2яг дх ^0 ф ~ ПяТ дх
h д т, h д ,,-i h д h д ,,_i
2яг ду ^ 2яг ду 2яI дг ^ ~ 2яi дг
ЗДР = ~ UKoSxKoU~\= - Us*xU~'y,
Sy^ = - f/Sy?/"V, 5гф = - ?/s2?/~V
Из выписанных соотношений видно, что линейный унитарный оператор U
коммутирует с х, у, z и рх, ру, pz (и, таким образом, не влияет на
декартовы координаты). Что же касается спиновых матриц Паули, то оператор
U антикоммутирует с вещественными матрицами sy и sz и коммутирует с
мнимой матрицей sx. Отсюда следует, что оператор U с точностью до
константы, которую можно отбросить, совпадает с sx. Если число электронов
больше одного, оператор U совпадает с произведением операторов sx всех
электронов:
/Сф (Xi, У\, . . ., X п, уп, Zn, О[, . . . , О н)
1 * • • $пхФ (И > U\i > • • • > Уn' ^1 j • • • >
&n) ~
( 0 Hi • • • а"ф (a^i, У\, zi, . . ., xn, yn, zn, (7[,
. . ., n^).
(10)
Это и есть в точности преобразование Крамерса.
') См. книгу [9]. Та же аргументация, которая приводится в этой книге для
обоснования перехода к комплексно сопряженной величине, применима и в
рассматриваемом нами случае, поскольку и в книге, и у нас речь идет об
изменении направления времени.
21. Об операции обращения времени в квантовой механике 271
Пользуясь им, запишем основные свойства (I) - (III) для оператора К в
виде
/С2Ф = UKoUKo<P = UU'q> = slx ... snxs*lx ... s> = (-l)V (la) К (cup +
6ф) = UKo (cup + H) = a* 17/Соф + 6*С//С0ф, (Па)
(ф, Ф) = (/СоФ, K<fp) = (UK<$, П/СоФ) = (/СФ, /Сф). (Ша)
При четном числе электронов п эти свойства совпадают с теми, которые были
положены в основу проводимого нами анализа. Таким образом, при четном п
указанные свойства полностью выполняются и в теории Паули. Однако при
нечетном числе электронов вместо равенства (I) справедливо равенство
/С2ф = - ф; /С2 = - 1. (16)
Этот случай мы рассмотрим в следующем пункте нашей работы.
Если система содержит не только электроны, но и другие частицы, то для
нее в зависимости от того, четно или нечетно полное число частиц, будет
выполняться либо равенство (I), либо равенство (16). При этом частицу,
спин которой в s раз больше спина электрона, следует считать за s частиц.
7. Уже в случае четного числа электронов функция /Сф, которую мы
называем комплексно сопряженной с функцией ф, не является комплексно
сопряженной с ф в обычном смысле: /Сф и Ф связаны между собой
соотношением СУ/СоФ = Uq>*. При нечетном числе электронов мы вообще не
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 150 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed