Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где m - произвольная вещественная постоянная. Уравнение Шредингера (для
одной частицы) принадлежит ко второму типу, а величина т, входящая в
формулу (4), имеет смысл массы частицы. Исследование представлений
второго типа, в общих чертах намеченное во введении, приводит к обычным
операторам для импульса, скорости, энергии и координат. Например, чтобы
получить операторы координат, необходимо найти три коммутирующих между
собой оператора, преобразующихся при поворотах как векторы. Сдвиг начала
координат на вектор а должен изменять эти операторы на аддитивную
постоянную а. Кроме того, искомые операторы должны оставаться
инвариантными при переходах к движущейся системе координат. Существует
только один набор из трех операторов, удовлетворяющих всем требованиям.
Эти операторы совпадают с обычными операторами координат. Аналогично
можно определить и операторы импульса и скорости. Их отношение равно
величине т, входящей в формулу (4).
Итак, ситуация с представлениями второго типа вполне удовлетворительна,
но те же постулаты для представлений первого типа не выполняются. В
гильбертовом пространстве представлений первого типа не существует троек
операторов, удовлетворяющих, например, условиям, перечисленным для
операторов импульса [12]. Инфинитезимальные операторы сдвигов рх, ру, рг
при переходе к движущейся системе координат преобразуются как
р->-р, 8 -> 8 + р • V,
т. е. операторы пространственных сдвигов при таких преобразованиях
остаются неизменными. Отсюда с необходимостью следует вывод о том, что
представления первого типа не имеют физического смысла и что не
существует частиц, векторы состояния которых под действием преобразований
Галилея преобразуются по представлению первого типа. Пока этот результат
кажется нам обособленным, то он предстанет в новом свете,
252
Дополнение
когда мы будем рассматривать классическую механику как предельный случай
специальной теории относительности.
"Аи А-12 А-13 Аю ах
А-21 А-22 А2з Аго ау
А-31 А-32 А-зз Азо аг
A-oi А-02 А()з Аоо at
0 0 0 0 1
X х'
У У'
Z = z'
t V
_1 _ _ 1 _
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ '
Группа симметрии в этом случае состоит из комбинаций пространственных и
временных сдвигов с обычными (однородными) преобразованиями Лоренца.
Последние в свою очередь имеют смысл комбинаций вращений и переходов к
движущейся системе координат. Преобразования группы специальной теории
относительности можно записать с помощью матриц вида
(5)
Последняя координата, как и прежде, введена для большего математического
удобства. Элементы А означают компоненты однородных преобразований
Лоренца, т. е. преобразований, оставляющих инвариантной квадратичную
форму х2 + у2 + + z2 - i2 (отражения, или инверсии, мы пока не
рассматриваем). Известно, что галилеевы преобразования (3) можно считать
предельными случаями преобразований (5). Интересно проследить, каким
образом представления группы Галилея возникают из представлений (5) в
результате предельного перехода, т. е. каким образом квантовая теория
классической физики возникает как предельный случай квантовой механики
специальной теории относительности.
Ни одно представление группы Пуанкаре (5) не имеет множителя,
аналогичного множителю (4) группы Галилея, Наоборот, все представления
неоднородной группы Лоренца (она же - группа Пуанкаре) можно нормировать
так, что соотношение
UrU,= ± U г
(6)
будет выполняться для любых двух преобразований г и s. С другой стороны,
представления можно классифицировать по значениям, принимаемым лоренцевой
суммой квадратов инфи-нитезимальных операторов сдвига
P)-Pl-Pl-Pl- (7)
Эта величина может быть положительной, равной нулю или отрицательной.
20. Релятивистская инвариантность уравнений квантовой механики 253
Только первые два случая были исследованы подробно. Оказалось, что они
эквивалентны уравнениям для частиц с положительной и нулевой массами
покоя. Если сумма (7) положительна, то операторы импульса, скорости и
координат можно определить аналогично тому, как уже говорилось в случае
галилеевой группы. Если же сумма (7) равна нулю, то определить операторы
координат в некоторых случаях бывает невозможно, но удовлетворить всем
постулатам для операторов импульса и скорости удается всегда, причем
одним и только одним способом. При переходе от (5) к (3), т. е. при
обращении скорости света в бесконечность, только что описанные
представления переходят в представления галилеевой группы.
Соответствие между представлениями имеет следующий вид
где со - величина, входящая в формулу (4). Представления, отвечающие
положительной и обычной, нулевой массе покоя, имеют разумный
нерелятивистский предел. В остальных случаях предельный переход приводит
к представлениям, в которых нельзя определить ни оператора импульса, ни
оператора координат. Случай, когда сумма (7) отрицательна, т. е. когда
инфинитезимальные операторы сдвигов образуют пространственно-подобный
вектор, по общему мнению, противоречит условиям причинности Крамерса -
