Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Наоборот, все операторы, содержащие нечетные степени t (например,
операторы скорости, углового момента и т. д.) мнимы, ибо их средние
значения для ф и /Сф равны по величине и противоположны по знаку. В самом
деле, в первом случае
(Лф, ф) = (ф, Лф) = (/Сф, Л/Сф) = (/СЛ/Сф, ф), откуда мы заключаем, что
Л - КАК.
Во втором случае
(Ф, ?ф) = - (/Сф, fi/Сф) мы получаем соотношение
в = - квк.
4. Мы видим, что все собственные функции можно считать вещественными.
Отсюда сразу же следует, что среднее значе-
21. Об операции обращения времени в квантовой механике 267
ние мнимого эрмитова оператора для всех состояний с одной и той же
энергией должно быть равно нулю:
(ф" 5ф,) + (ф2, Вф2) + (фз. #Фз) + ... =0, (4)
ибо каждое слагаемое в левой части равно нулю, если собственные функции
вещественны:
(Фг, ?Фг) = (?Фг, Фг) = (/Сфг, /Сйф*) = = - (фг, В/Сфг) = - (грг, Вфг).
При отсутствии вырождения (например, в случае когда система не обладает
пространственной симметрией) аналогичное утверждение справедливо и для
отдельных собственных функций. Так, например, среднее значение скорости
для любого стационарного состояния равно нулю. То же молено сказать о
кубе и вообще любой нечетной степени компонент скорости, поэтому любая
скорость имеет ту же вероятность, что и скорость, равная ей по величине,
но противоположная по направлению. Аналогичные утверждения справедливы и
для углового момента.
5. Перейдем теперь к случаю, когда система помимо инвариантности
относительно обращения времени обладает еще и пространственной
симметрией. Рассмотрим собственные функции фь ..., фг, принадлежащие
неприводимому представлению D группы пространственной симметрии:
i
ОдФ*= S ?>(PMv (5)
А.= 1
Операция обращения времени коммутирует со всеми пространственными
элементами симметрии, в силу чего с чисто математической точки зрения
полную группу симметрии системы можно представить в виде прямого
произведения группы пространственной симметрии и операции обращения
времени. Однако применять теорию представлений в ее обычной форме к такой
полной группе нельзя, поскольку операция обращения времени нелинейна. При
более детальном рассмотрении выясняется, что необходимо различать три
случая (см. работы [6,7]):
а) представление D можно преобразовать к вещественному виду;
б) представления D и D* неэквивалентны;
в) представления D и D* эквивалентны, но их нельзя привести к
вещественному виду.
Случай "а". Рассматривая, например, все однозначные представления
трехмерной группы вращений и вращений с отражениями, двумерной группы
вращений с отражениями, а также представлений симметрической группы,
можно считать, что
268
Дополнение
представление D заранее приведено к вещественному виду. Из (5) при
переходе к комплексно сопряженным величинам находим
i
KOR^ = 0RK^ = 2 D {R)^Kb. • (6)
To же соотношение справедливо и для вещественных функций
в силу чего функции щ, ..., щ под действием как пространственных
преобразований, так и обращения времени преобразуются только через
функции и. Функции щ, ..., vt также преобразуются только через v. Поэтому
если функции и и v линейно независимы, то нет никаких оснований считать,
что функции v должны принадлежать тому же собственному значению, которому
принадлежат функции и (даже в том случае, когда имеет место случайное
вырождение).
Таким образом, в случае "а" обращение времени не приводит к
дополнительному вырождению и проявляется лишь в том, что все собственные
функции, принадлежащие вещественной форме представления, путем умножения
на некоторую константу также приводятся к вещественному виду.
Если А - вещественный эрмитов оператор и функции фг- и принадлежат
собственным значениям типа "а", то связывающий их матричный элемент
оператора А оказывается вещественным:
(Ф;> Лф/)* = (йСф/, /СЛф/) = (ф;, Лф,). (7)
Если оператор А обладает еще и пространственной симметрией задачи, то,
комбинируя элементы этой симметрии с равенством
(7), можно получить дополнительные сведения о свойствах матричного
элемента оператора А. Хотя в дальнейшем это нам нигде не понадобится,
упомянем в качестве примера, что среднее значение мнимого эрмитова
оператора, обладающего пространственной симметрией задачи (такими
операторами могут быть
2 хпРпх "Е РпХХП "Е УпРпу "Е РпуУп "Е znPtiz + Pnz^n п
или
хМх + уМу + гМг),
для любого стационарного состояния агф| + ... + а;ф; равно нулю, если нет
случайного вырождения
В 2 адМф*, Вфх),
l
21. Об операции обращения времени в квантовой механике 269
где скалярное произведение (фк, Вф*,) обращается в нуль при х = X потому,
что функция фи вещественна, а при х ф К потому, что функции фи и фх,
принадлежат различным строкам представления D.
Случаи "б" и "в". Если все собственные функции вещественны, то
соответствующее представление также вещественно. Справедливость этого
утверждения следует из (5):
(Фъ ОяФх) = Я(Я)"*;
здесь обе функции ф*. и Одфи в левой части равенства вещественны.
Следовательно, если представление нельзя привести к вещественной форме,
