Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
можем говорить о вещественных функциях, поскольку функция /Сф не равна
функции ф, а, наоборот, ортогональна ей:
(/СФ, ф) = (/Сф, /C/Сф) = - (/Сф, Ф) = 0. (11)
Функцию /Сф назовем сопряженной с функцией ф, функцию -Ф - сопряженной с
функцией /Сф и т. д.
Вещественные и мнимые операторы также определяются несколько иначе, чем
прежде, а именно: вещественным называется оператор А, удовлетворяющий
соотношению
а = к~'ак = как
(вместо прежнего соотношения А = К~]АК = - КАК), а мнимым - оператор В,
удовлетворяющий соотношению
В= - К~'ВК = КВК.
Помимо названных в п. 3 важными примерами вещественных операторов служат
операторы преобразований одних лишь декартовых координат Рд и операторы
преобразований
272
Дополнение
спиновых переменных QR. Важными примерами мнимых операторов служат
спиновые величины Skx, Sky, Sftz-
Матричные элементы вещественных эрмитовых операторов, связывающие
сопряженные функции, равны нулю:
(/Сф, /4ф) = (/СЛф, /С2ф) = - (Л/Сф, ф)=-(/Сф, Лф). (12)
Средние значения вещественного эрмитова оператора Л для двух сопряженных
функций равны, средние значения мнимого оператора В для двух сопряженных
функций равны по модулю, но отличаются по знаку:
(ф, Вф) = (/СВф, /Сф)=-(В/Сф, /Сф) = - (/Сф, Д/Сф). (13)
Поскольку собственные функции можно выбрать ортогональными так, что они
будут образовывать пары сопряженных функций, среднее значение мнимого
оператора для совокупности всех состояний, отвечающих одной и той же
энергии, будет равно нулю в силу соотношения (13).
8. Равенство К2 = -1 обусловливает существенное различие вырождения в
случаях нечетного и четного числа электронов. Нетрудно видеть, что у
системы, не обладающей пространственной симметрией, всегда наблюдается
двукратное вырождение: две ортогональные функции ф и /Сф принадлежат
одному и тому же собственному значению. Матричные элементы вещественных
операторов для сопряженных функций комплексно сопряжены:
(Ч>" Лф/) = (/СЛф/, /Сф,) = (/Сф" Л/СФ/Г. (14)
Что же касается свойств систем, обладающих пространственной симметрией,
то они также сильно различаются для систем с нечетным и четным числом
электронов. Так же как и в п. 5, необходимо различать следующие три
случая:
Случай "а". Если рассматриваемый уровень принадлежит вещественному
представлению D - D*, то из формулы (5), имеющей теперь вид
i
КОА = Ой/Сфи = 2 D {R\4KФх, (15)
Х=1
следует, что функция /Сфх. принадлежит К-н строке представления D. Таким
образом, элемент симметрии /С обусловливает двукратное вырождение, т. е.
кратность вещественных представлений всегда равна 2.
Для операторов, обладающих пространственной симметрией задачи,
обычные формулы теории представлений для матричных элементов и
соотношения (13) - (15) позволяют получить
некоторые новые сведения. В частности, оказывается, что для
21. Об операции обращения времени в квантовой механике 273
¦"симметричного" вещественного эрмитова оператора все матричные элементы,
связывающие различные собственные функ--ции с одной и той же энергией,
обращаются в нуль, а средние значения, вычисленные для отдельных
собственных функций, равны. Таким образом, в пространстве функций,
отвечающих одному собственному значению, приводимое представление ведет
себя так, как если бы оно было неприводимым.
Случай "б". Свойства системы особенно просты для собственных значений,
отвечающих представлениям, не эквивалентным комплексно сопряженным с
ними. Все рассуждения, приведенные в п. 5, остаются в силе и для
рассматриваемого случая.
Случай "в". Если представления D и D* эквивалентны, то их можно
трансформировать друг в друга с помощью некоторого унитарного
преобразования 5. Пусть
5?>(/?)5-1 = ?*(Я), S*D*(R)S*~l = D(R). (16)
Тогда
5*5 D (R) = S*D* (R) S'~l = D (R). (17)
Таким образом, преобразование 5*5 коммутирует со всеми D(R), и,
следовательно, его матрица кратна единичной: S = cE. Отсюда следует и
обратное равенство Е = с5, в силу которого с - ±1. В нашем случае с = -1,
поскольку при с = +1 представления приводятся к вещественной форме. Итак,
Е = - S. (18)
Это озетачает, что все представления типа "в" имеют лишь четные
размерности. При трансформации представления D(R)
унитарной матрицей U матрица 5, переводящая D в D*, пере-
ходит в матрицу U'SU. С помощью подходящего выбора базиса представления
D(R) матрицу 5 в формуле (18) всегда можно представить [7] в виде
5 =
0 0 0 i
0 0 - i 0
0 i 0 0
- i 0 0 0
(18а)
Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что полу-целые
представления трехмерной группы вращений (принадле-
274
Дополнение
жащие к рассматриваемой категории) выбраны в таком виде, при котором
матрица S имеет форму (18а). В этом случае строки и столбцы матриц D и 5
(а следовательно, и собственные функции) удобнее нумеровать не 1, 2, ...,
а числами -/, -У + 1, ... , /- 1, /, где У - полуцелое число, тогда 2/ +
1 - размерность представления.
При такой нумерации из соотношений (16) следует1)
D' (RU = (/?)(_й) (_v) = (- 1 f~vD (/?)(_", (_v). (16a)
