Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
а, мы будем вести расчет, следуя обычной, хотя и несколько парадоксальной
практике, считая число участвующих в процессе частиц очень большим,
несмотря на малость о. Нам предстоит оценить порядок величины
F = ?iWipi-YiWipi,
(4.32)
фигурирующей в (4.31). Сделаем это в два приема. Прежде всего пусть все
входящие в R частицы движутся по своим геодезическим мировым линиям без
столкновений, пройдя невредимыми через самую мировую точку столкновения
(точка С на фиг. 52, а). Затем мы исследуем акты столкновений- одного за
другим.
148
Гл. IV. Материальные среды
Следуя за частицей, замечаем, что
^(Wlpi) = Wi[}pi^-. (4.33)
Согласно (4.30), веичины Wiij имеют порядок а в R] порядок величины s
такой же. Поэтому в отсутствие столкновений каждая единичная частица дает
вклад в F порядка о2. К тому же число частиц пропорционально а3, так что
в отсутствие столкновений
F = 0(o5). (4.34)
Рассмотрим влияние на величину F столкновения в точке С на фиг. 52, б. В
уравнении (4.32) сумма 2- относится к частицам, входящим в R, так что акт
столкновения не влияет на это слагаемое. Изменения, вносимые
столкновением, сводятся к замене вкладов от совокупности полных линий
фиг. 52, а и 52, б на вклады от ломаных линий на фиг. 52, б, которые
представляют собой мировые линии частиц после актов столкновения.
Обозначая первый вклад через 2, а последний - через 2', приходим к
необходимости оценки величины
(4.35)
представляющей собой изменение F в результате столкновения. Величину
(4.35) следует вычислить в точках, где мировые линии покидают трехмерную
поверхность R, однако отдельные слагаемые являются функциями положения на
отрезках мировых линий, идущих от точки С до мировых точек (событий)
"покидания" R. Ввиду сохранения в точке С 4-импульса величина (4.35) в
ней равна нулю, и если проследить значения этих величин до точек выхода
мировых линий из R при помощи уравнения (4.33), можно заключить, что
величина (4.35) имеет порядок а2. Полное число столкновений
пропорционально 4-объему R, т. е. а4, откуда мы заключаем, что изменение
F в результате столкновений оказывается всего лишь порядка а6, что
пренебрежимо мало с точки зрения (4.34). Итак, влияние столкновений
пренебрежимо мало, однако этот факт является следствием сохранения 4-
импульса, но не редкости столкновений.
Из уравнений (4.31), (4.32) и из (4.34) получаем
^ е (л) dS = О (о5). (4.36)
Теорема Грина в форме, приведенной в (1.257), позволяет привести это
равенство к виду
TijW, dr + $ TijWц} dr = О (05), (4.37)
где dr - элемент 4-объема, а интегралы берутся по всей области R. Из
(4.30) следует, что второй интеграл имеет порядок о5, так что, производя
деление на 04 и переходя к пределу 0-^-0 (R стягивается в точку О),
получаем
Тр^ = 0. (4.38)
Но величина Wt выбиралась в точке О произвольно, поэтому имеют место
следующие дифференциальные уравнения сохранения 4-импульса:
Tf/ = 0. (4.39)
В высшей степени важно отметить, что эти уравнения оказались
дифференциальными] мы не получили какого-либо интегрального закона
сохранения, и это отсутствие простого интегрального закона было одним из
"проклятий"
§ 2. Законы сохранения в статистической модели
149
общей теории относительности, по крайней мере в глазах тех, кто ожидал
воспроизведения ньютоновских закономерностей1) в искривленном
пространстве - времени.
Что же касается сохранения числа частиц, то здесь положение гораздо
проще. Предполагая сохранение числа частиц при каждом столкновении
(рассматривать мировые линии как геодезические и вводить сохранение
4-импульса здесь нет необходимости), мы видим, что число частиц, входящих
в область R, равно числу частиц, покидающих R. Так как поверхность 5
окружает R (фиг. 52), то отсюда и из (4.23) следует, что
^ е (л) dS = 0. (4.40)
Тогда на основании теоремы Грина мы запишем
JW|idT = 0 (4.41)
и, стягивая R в точку, придем к дифференциальному уравнению сохранения
числа частиц:
А^=0. (4.42)
Однако, как уже отмечалось, это уравнение нельзя считать столь же
универсально применимым, как (4.39).
Наряду с уравнениями сохранения мы определили с помощью нашей
статистической модели векторN1 [см. (4.22)] и тензор [см. (4.24)].
Возникает вопрос: как следует определить среднюю скорость системы частиц?
Этот вопрос играет существенную роль при построении механики
континуума, если в качестве основы такой теории решено
взять статистическую
модель, ибо понятие средней скорости континуума У* представляет собой
одну из фундаментальных концепций.
Так как скорость - величина кинематическая, естественно обратиться к ее
кинематическому определению, и тогда N1 окажется единственным имеющимся в
распоряжении вектором. Мы приходим, таким образом, к определению
кинематической средней скорости V\ как единичного вектора в направлении
числового вектора N1. В случае газа, состоящего из одинаковых молекул,
такое определение имеет смысл, однако в присутствии заметного числа
частиц, имеющих массы весьма малые по сравнению с массами молекул, едва
