Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 12. Перенос Ферми - Уолкера
139
определяет меру кривизны С. Мы имеем
<зл94>
и в силу (3.193) при и = 0 отсюда получаем
ъшУУ">=-и^- <зл95>
Нормали и кривизны кривой определяются математическими формулами Френе -
Серре, которые для временноподобной кривой имеют вид (1.55). В случае
пространственноподобной кривой нужно в некоторых местах изменить знаки,
однако мы сохраним вид (1.55а) неизменным:
~- = ЬВ1, Ь> 0, (3.196)
где Ь - первая кривизна, а В1 - единичная первая нормаль1). В этом случае
(3.195) можно записать в виде
ТШ<У (3.197)
Рассмотрим две соседние геодезические, определяемые параметрами v
и у+т10, так что т]0 характеризует расстояние между этими геодезическими
по нормали на С. Пусть т] - расстояние между геодезическими по нормали
при произвольном значении и. Тогда
Уу1 = ^, (3.198)
и из (3.197) следует (на С)
1 (3.199)
Т]о dM
Если мы возьмем теперь на С 4-репер Ферми и разложим в нем векторы Vх и
В1, то придем к формуле
^ж=~ьв(tm)ит- (3-20°)
Всем величинам, входящим в эту формулу, за исключением Ь и В(а), была
дана физическая интерпретация, тогда как величина С/(а> с точностью до
соотношения
U{a)Ula) -- 1 (3.201)
произвольна. Следовательно, физический смысл вектора ЬВ(а) ясен, и
поскольку
В(а,В<а,= ± 1. (3-202)
то Ь и В(а) можно определить. Таким образом, физический смысл первой
кривизны и первой нормали пространственноподобной кривой выяснен. Под
выяснением "физического смысла" мы понимаем возможность измерения
упомянутых величин хронометрическими методами.
Теперь легко разработать опыт, позволяющий выяснить, является ли
пространственноподобная кривая геодезической. Все, что требуется для
этого сделать, это измерить величину, стоящую в левой части (3.199):
*) Для простоты мы будем предполагать, что вектор ЬА'/bs пространствено-
или временноподобен. Он мог бы быть и изотропным; в этом случае мы
говорили бы, что кривая имеет нулевую первую кривизну, но вполне
определенную изотропную первую нормаль, компоненты которой можно измерить
хронометрически.
140 Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве -
времени
если она равна нулю для всех временноподобных векторов U1, то С -
геодезическая. В самом деле, мысль чрезвычайно проста: в случае, когда С
- геодезическая, ортогональные к ней геодезические, берущие начало на С и
имеющие направления, определяемые переносом Ферми (т. е. параллельным
переносом), не сходятся и не расходятся.
§ 13. Физический смысл абсолютного дифференцирования и систематическое
измерение гравитационных полей
Пусть С - некоторая временноподобная или пространственноподобная кривая,
а А,(а)- ортонормированный 4-репер, подвергающийся переносу Ферми -
Уолкера вдоль С, так что в силу (1.72) и (3.187)
(3.203)
где А1 - единичный касательный вектор, а е - индикатор С. Тогда любой
вектор V1, заданный вдоль С, может быть разложен на инвариантные
компоненты:
У* = У<П,а), (3.204)
и абсолютная производная имеет вид
ТГ-ТГ :^.-"^"(л^-Л^) • (3.205)
Величины, стоящие справа, физически измеримы, и, следовательно, физически
измерима абсолютная производная 6Vl/6s. То же самое, разумеется, имеет
место и для абсолютной производной относительно любого другого параметра
(не обязательно, чтобы это был интервал s).
Как отмечалось ранее, обычные измерения "гравитационного поля" с помощью
маятника или (что эквивалентно) через натяжения в ватерпасе фактически
вообще не являются измерениями гравитационного поля; это измерения
абсолютного ускорения наблюдателя. В § 11 мы в терминах теории
относительности описали эксперимент, заключающийся во взвешивании одного
тела в подвале и другого - на той же вертикали на чердаке. При этом мы
очень близко подошли к определению самой основы, а именно тензора Римана.
Однако изложенный в § 11 метод носит весьма частный характер и позволяет
определить лишь некоторые из компонент этого тензора. Теперь, когда дана
физическая интерпретация абсолютным производным, в наших возможностях
становится вывести формулу, с помощью которой можно отыскать *) все
компоненты Ri!hm.
Применяемый метод является весьма общим. Рассмотрим конгруэнцию кривых,
прдпочтительно временноподобных, так как в этом случае они описывают
эволюцию движения "облака" частиц. Не обязательно, чтобы частицы были
свободными. Выберем четыре параметра yw, три из которых (у(а)) вдоль
каждой из кривых постоянны, a y(t)- параметр вдоль
каждой кривой; в качестве последнего может (хотя и не
обязательно)
служить время. Тогда конгруэнция описывается уравнениями
ж1 = ж1 (у) (3.206)
и частные производные запишутся в виде
= (3.207)
*) Мы не описываем приборов, пригодных для такого рода "геодезических
съемок", выполняемых правильно с точки зрения теории относительности.
§ 13. Систематическое измерение гравитационных полей
141
Последние представляют собой четыре контрвариантных векторных поля. В
силу (1.95) имеем
*("ьс, = RiihmxUx{b)X}c)XTd) = йЛ - 5^4- J . (3.208)
Это и есть искомая формула, с помощью которой инвариантные компоненты
