Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
она представляет собой трехмерный элемент, имеющий единичную нормаль п\ В
смысле направления этой нормали мы и говорим о поляризации мишени dS.
Возьмем в точке р1 4-ячейку dp и попробуем разобрать
*) Этот анализ охватывает и пространственно- и временноподобные мишени,
т. е. мишени, вектор нормали которых п1 соответственно временно- либо
пространственноподобен. Чтобы поляризовать пространственноподобную
мишень, нормаль я* можно выбрать направленной в будущее или в прошедшее.
Для поляризации временноподобной мишени мы можем избрать направление
любой из двух противоположных пространственноподобных нормалей. Полезно
иметь в виду, что все векторы, лежащие на пространственноподобных
мишенях, пространственноподобны, в то время как в случае временноподобных
мишеней одни из лежащих на них векторов временноподобны, а другие -
пространственноподобны. Вспомним, что все векторы, перпендикулярные
временноподобному вектору, пространственноподобны, но пространственно-
иодобный вектор имеет в числе перпендикулярных себе как
пространственноподобные, так и изотропные и временноподобные векторы.
144
Гл. IV. Материальные среды
вопрос о числе частиц, мировые линии которых пересекают dS, а 4-импульсы
лежат в dp. Лучше, однако, рассматривать поляризованное число частиц, т.
е. число частиц, помеченное знаком "-|-" либо "-" в зависимости от того,
в положительном или отрицательном направлении пересекают эти частицы
мишень dS (иначе говоря, движутся ли они в направлении вектора п{ или в
обратном ему). Знак направления перехода через мишень зависит от
направления 4-скорости и1 (= рЧт), и легко видеть, что положительный либо
отрицательный переход получается в зависимости от того, что
ге(п)о,-п' . , . .. сч
- --=+1 или -1. (4.5)
I I
Таким образом, для того чтобы из числа частиц получить поляризованное
число, необходимо просто умножить исходное число на поляризованный
множитель.
Перед нами тонкая трубка мировых линий (фиг. 51), причем dS -наклонное
сечение. Если dS0 - поперечное сечение, то формула для проекции дает
dS0 = dS | Vjrf |. (4.6)
Число участвующих в процессе частиц можно выразить как
v(x, p)dSQdp, (4.7)
где v (х, р) - функция распределения, по самому способу своего задания
инвариантная. Подставляя сюда из (4.6) выражение для dS0 и вводя
поляризованный множитель (4.5), мы обнаруживаем, что поляризованное число
частиц в классе (я, dS\ р, dp) равно
v (х, р) е (п) vtnl dSdp. (4.8)
Мы рассматривали до сих пор одну тонкую трубку. Оставляя поляризованную
мишень фиксированной, будем теперь учитывать все частицы и исследуем
некоторые виды потоков сквозь поляризованную мишень, например поток числа
частиц и поток 4-импульса. Так как все эти понятия допускают один общий
подход, мы будем говорить о 9-потоке, где q - некоторая характеристика
частиц. Она может быть скалярной, векторной или тензорной, но мы пока
опустим индексы. Определим 9-поток сквозь поляризованную мишень dS как
<7-поток = 2 q - zj Ч, (4.9)
+
где Б. - сумма всех значений q, свойственных частицам, совершающим
положительные переходы, а Б- - сумма всех q для частиц, совершающих
отрицательные переходы. Учитывая, что величина q имеет одно и то же
значение для всех частиц класса {х, dS; р, dp) (что будет естественно,
если ц зависит лишь от 4-импульса), найдем из (4.9) величину 9-потока,
умножая q на поляризованное число (4.8) и интегрируя по пространству 4-
импульсов. Знак минус в равенстве (4.9) автоматически учитывается при
поляризации числа частиц, и мы получаем
9-поток = е (ц) QjH* (4.10)
где
Ф и г. 51. Тонкая временноподобная мировая трубка с поперечным сечением
dS0 и наклонным сечением dS.
Q.= ^v(*, p)qvidp=^v{x, p)mT1qpidp. (4.11)
§ 1. Статистическая модель
145
Эта форма записи <7-потока имеет то достоинство, что мишень отделяется от
статистической величины Q1, не зависящей от размера и ориентации мишени,
хотя, конечно, зависящей от ее положения. Отметим, что Qt становится
вектором лишь тогда, когда q - скаляр. Если тензорный характер q
символически изобразить как <7..., то тензорный характер Qi изобразится в
виде Q...J.
Придавая q поочередно значения
q=l,pjt PjPu, PjPhPm. • • •. (4.12)
мы придем к следующим моментам функции распределения v (х, р):
q = 1, Q4= ^ v(x, p)m~1pidp, (4.13)
4 = Pj, Qij - ^v(x, p) m~1pipj dp, (4.14)
<7 = PjPk, Qijh = J v (*, p) m-1pipjph dp, (4.15)
Q- PjPhPm' Qijkm = I V(X> P)tn1PiPiPhPmdp И Т. Д. .(4.16)
Соответствующие потоки через поляризованную мишень dS равны
9=1, <7-поток = е(п) Q^dS, (4.17)
q = Pj, <7-поток = e(n)Qi;.nJ dS, (4.18)
q = PjPh, q-поток = e (n) Qijhnh dS, (4.19)
q = PjPhPm, q-uoTOK = e(n)QijkmtimdS. (4.20)
Для полноты математического списка моментов следовало бы добавить
Q=\)v(x, p)dp, (4.21)
однако эта величина, видимо, не представляет физического интереса в нашей
модели.
Можно было бы, конечно, умножить величины <7... в (4.12) на любые степени
массы т. Однако это нецелесообразно, так как желательно получить моменты,
