Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 72

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 211 >> Следующая

ли правомерно определение средней скорости на основании просто
элементарного подсчета. Отказавшись от кинематического определения
средней скорости, можно ввести динамическую среднюю скорость Уц как
единичный вектор, ориентированный во временноподобном собственном
направлении тензора 7V, предполагая, что такое собственное
временноподобное направление существует, а это при известных разумных
условиях имеет место (Синг [1175], стр. 292). Иначе говоря, вектор Уц
удовлетворяет уравнениям
7"УЬ= -ЦоУш, (4-43)
где рц - собственное значение 7'i ¦.
Так как покоящуюся среду осмыслить гораздо легче, чем движущуюся,
естественно попытаться найти систему покоя в каждой мировой точке среды;
такая система задается ортонормированным 4-репером, четвертый вектор
которого ориентирован в направлении средней скорости. Построив систему
покоя, можно говорить об энергии покоя и о других величинах, отнесенных к
системе покоя. Однако главное недоразумение состоит в мол-
9 Или закономерностей частной теории относительности. Ср. книгу Синга
[1175], стр. 311.
150
Гл. IV. Материальные среды
чаливом предположении о том, что средняя скорость (а вместе с ней и
система покоя) вполне определена, что не соответствует действительности.
Такой скоростью может быть V^, или В первом случае энергия покоя равна
Рк = ТцУкУк, (4.44)
а во втором -
i^D = Г"ИоУЬ. - (4.45)
Вопрос о том, какое из этих двух конкурирующих определений следует
выбрать, был бы снят, если бы удалось доказать эквивалентность этих
средних скоростей друг другу. Это представляется безусловно очевидным для
газа, находящегося в состоянии статистического (адиабатического)
равновесия. Однако это предположение, по-видимому, никак не доказано в
общем случае, хотя указать физический пример, когда эти два вектора
существенно различаются между собой, может быть очень нелегко. Поэтому из
соображений простоты и ясности следует выбрать один из них, и в настоящей
книге в качестве определения средней скорости будет взята динамическая
средняя скорость V\y (собственный вектор тензора энергии); когда же по
той или иной причине понадобится временно отойти от этого определения, то
этот факт будет со всей определенностью отмечаться (например, в гл. X, §
1).
§ 3. Кинематика континуума
Оставляя статистическую модель, мы перейдем к рассмотрению континуума
отождествимых частиц, если уж продолжать использовать термин "частица",
означающий теперь нечто совершенно отличное от того, что имелось в виду в
двух предыдущих параграфах. В этом параграфе нас не будут интересовать
инертные свойства континуума. Мы будем изучать лишь его кинематику,
которая исчерпывается полем 4-скорости V1 (роль которой может играть
любая из двух рассмотренных в § 2 средних скоростей). Наша кинематика
сводится попросту к геометрии линий тока, представляющих собой мировые
линии, имеющие в качестве единичных касательных векторов составляющие
средней скорости V1. Существуют два метода - метод Лагранжа и метод
Эйлера.
Согласно методу Лагранжа, вводятся четыре'параметра у(а), первые три из
которых у(а) постоянны вдоль каждой линии тока. Уравнения конгруэнции
линий тока принимают тогда вид
х1 = х'(у), (4.46)
причем у(1) представляет собой параметр (например, время), изменяющийся
вдоль каждой линии тока, а 4-скорость равна
yi = eJ?l. (4.47)
5г/ш
Скалярный множитель 0 выбирается здесь таким образом, что
У4У'=-1. (4.48)
В дальнейшем мы не будем применять метод Лагранжа, так как при тензорной
записи удобнее пользоваться методом Эйлера. Согласно этому методу,
определим конгруэнцию линий тока как
У1 = У1(х), (4.49)
считая, таким образом, 4-скорость функцией точки в пространстве -
времени, причем эта функция, безусловно, удовлетворяет условию (4.48).
§ 3. Кинематика континуума
151
В кинематике континуума изучают относительное поведение смежных линий
тока, причем существуют различные способы рассмотрения. Мы будем
использовать здесь координаты Ферми (как и в гл. II, §10), выбирая
4-репер Ферми Х\а) на одной из линий тока С так, что Ц^= V\ Хотя наш
интерес будет ограничиваться лишь непосредственной окрестностью точки С,
все же заметим, что преимущество этого метода состоит в том, что мы
сохраняем возможность перехода к более отдаленным линиям.
На фиг. 53 изображены линия тока С и смежная ей линия С', причем мировые
точки Р и Р' связаны друг с другом условием ортогональности геодезической
РР' относительно линии С в точке Р. Тогда координаты Ферми точки Р'
выразятся с помощью мировой функции как j
X(0)=-Q1(PP')X|0), (4.50)
и скорость их изменения с течением времени s на С (здесь D = d/ds) будет
равна
DX{a)=-Qli^a)Vi-Qir'4a)V,"Ds\ (4.51)
где V1' - 4-скорость на С', a s' -время на С'. Вследствие ортогональности
в точке Р дифференцирование вектора ф и г 53 ^и. ' Ферми не приводит к
появлению нового слагаемого, нематика кон-Расчеты значительно упрощаются,
если ограничиться тинуума. только членами первого порядка (Ох) в
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed