Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
прикрепленной в точке Р с координатами (х, у, г). Пусть V (х, у, г) -
ньютоновский гравитационный потенциал, знак которого выбран таким
образом, чтобы напряженность гравитационного поля равнялась VV\ Тогда
Абсолютная величина g вектора g равна значению Ь, фигурирующему в формуле
(3.173). Попытаемся вычислить dg/dx, dg/dy, dg/dz в точке О. Справедливо
равенство
так как В направлен вертикально вдоль ватерпаса; здесь g0 -натяжение в
ватерпасе в точке О. Следовательно, в силу (3.174) и (3.178)
Частные производные, стоящие справа, берутся в точке О; (dg/dy)Q
обращается в нуль вследствие того, что Vy = 0 во всей плоскости у = 0. Из
сравнения (3.173) и (3.180) получаем
Подставляя в (3.181) величины cud, определяемые формулами (3.146),
убеждаемся, что некоторые члены при этом сокращаются и (поскольку
(3.174)
(3.175)
(3.176)
^ = B- K(BK) = B- KshU = Bcos2X - Dsin X cos X,
dy '
= D - К (D • K) = D - К cos X = - В sin A, cos X + Dsin22t.
(3.177)
(3.178)
и в точке О мы имеем
(g)o= -а>в.
(3.179)
(3.180)
#(1414) - 62 - с2 = -Vxx - со2 cos2 X,
#(1424) С ~
#<1434) + cd - - Vxz -f со2 sin X cos X.
(1434)
(1414)
(3.181)
Ij}4 Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве -
времени
с' = 0) мы находим, что
^(1414) - ^хх + Яо' ^(1424) = 0> /о юо\
Р --V (-3.182)
ГМ1434) xz *
Таким образом, мы вычислили некоторые компоненты тензора Римана через
вторые производные ньютоновского потенциала в предположении (довольно
резонном), что ньютоновская механика является достаточно точным
приближением к реальной физической картине. Более осторожно мы могли бы
сказать, что оценка (3.182) корректна, если тело и его вращение таковы,
что справедлива ньютоновская механика. Заметим, что #(i414)
представляет собой взятую с обратным знаком риманову кривизну
для
двумерного элемента, заданного мировой линией наблюдателя и ее первой
нормалью. Чтобы вычислить компоненты (3.182) в некоторой точке на
поверхности Земли, допустим, что Земля представляет собой однородную
сферу радиусом а. Тогда по теории Ньютона
Ужх = " > V,z = 0, (3.183)
еде g - ускорение, обусловленное только гравитацией. Разница между g0 и g
обязана вращению Земли; она мала, и можно положить
(3.184)
g = g0 - 980 см/сек? = 3,27• 10"(r) сек а - 6,37• 10(r) см = 2,12• 10"2 сек.
Поскольку
^- = 1^а = 3,47.10'10, (3.185)
членом gl в формуле (3.182) можно пренебречь, и из всех перечисленных
нами компонент отлична от нуля лишь одна:
Я(Ш4>= -Щ- = " 3)08'10 6 сек~*¦ (3-186)
Она соответствует "радиусу кривизны" в 570 сек, имеющему тот же порядок,
что и радиус орбиты Земли (см. дополнение Б).
§ 12. Перенос Ферми-Уолкера вдоль пространственноподобной кривой и его
физический смысл
Перенос Ферми - Уолкера вдоль временноподобной кривой в пространстве -
времени был определен уравнением (1.72), а перенос Ферми - уравнением
(1.84). Физическая интерпретация этого типа переноса дана в § 8 при
помощи примера с отражающимся фотоном: критерий ферми-переноса системы
координат заключается в условии, что относительно этой системы
направления излучения и поглощения отраженного фотона при этом совпадают
с точностью до первого порядка расстояния до объекта, от которого
отражается фотон.
Физический смысл пространственноподобной кривой в пространстве - времени
значительно менее прозрачен, чем в случае временноподобной кривой;
последняя описывает историю движения частицы, тогда как первая может
иметь лишь негативный смысл, как набор событий, между которыми
§ 12. Перенос Ферми - Уолкера
135
невозможно установить причинных связей, или как набор событий, с помощью
которого нельзя описать эволюцию движения фотона или материальной
частицы. Однако с точки зрения формализма переноса Ф - У и переноса Ферми
между ними большого различия нет. Мы просто меняем знак
в формулах гл. I, § 4 и устанавливаем следующие
определения, справедли-
вые для пространственноподобной кривой С:
Перенос Ферми - Уолкера:
DFl = -F, (A1 DA' - AjDAl), (3.187)
Перенос Ферми:
DFl= -A'FfDAU (3.188)
где D = б/бs - абсолютное дифференцирование по пространственной мере
кривой С, а Л* = dxl/ds - единичный вектор, касательный к С, который
удовлетворяет соотношению
i41A*=l. (3.189)
Легко убедиться, что сам вектор А1 удовлетворяет требованиям переноса Ф -
У (3.187) и что при таком переносе скалярные произведения сохраняются.
Чтобы выяснить физический смысл переноса Ф - У вдоль
пространственноподобной кривой, можно повторить рассуждения, аналогичные
приведенным в § 8 (отражающийся фотон) с учетом того, что знак теперь
должен быть изменен на обратный. Однако эти рассуждения были бы слишком
громоздкими, если излагать их детально. Достаточно пояснить лишь
существенные изменения в физической ситуации и привести наиболее важные
результаты.
Фиг. 48 - это соответствующим образом повернутая1) фиг. 42. Линия С -
пространственноподобная кривая, а s - ее пространственная мера,
определенная через риманову метрику (ds имеет хронометрический смысл; см.
