Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
тензора Римана выражаются через абсолютные производные. Для удобства
можно было бы выбрать параметры у(а) таким образом,чтобы в
рассматриваемой точке векторы (3.207) образовывали ортонормированный 4-
репер.
Глава IV МАТЕРИАЛЬНЫЕ СРЕДЫ
§ 1. Статистическая модель
Несмотря на то, что принимать математическое описание природы за самую
природу (см. философские замечания в гл. Ill, § 1) было бы ошибкой,
совершенно бесспорно, что современный физик считает более правдоподобным
описание вещества в виде совокупности частиц, чем в виде континуума. В
соответствии с этим мы начнем с краткого изложения статистики системы
частиц. Однако ввиду того, что общая теория относительности по существу
своему является теорией поля, мы отойдем от дискретной модели материи,
как только развитие этой модели подготовит почву для построения теории
непрерывных сред.
Мы будем рассматривать в римановом пространстве - времени ансамбль
частиц, включив в это понятие
1) материальные частицы,
2) фотоны,
3) внутренние импульсы.
Материальной частице соответствует временноподобная мировая линия с 4-
скоростью v% (причем vivx=_- 1) и 4-импульсом рг (= mv'), так что квадрат
массы равен m2= - ptp\ Фотон описывается изотропной мировой линией с
касательным вектором рх, однако при этом вектор Vх не существует и т = 0.
Фотон можно рассматривать как предельный случай материальной частицы,
масса которой стремится к нулю, а 4-скорость - к бесконечности, причем их
произведение стремится к конечному пределу р*. Внутренние взаимодействия
(импульсы) могут проявляться как в притяжении, так и в отталкивании.
Импульс отталкивания механически идентичен фотону, в то время как импульс
притяжения имеет 4-вектор импульса, направленный в прошлое, а не в
будущее. На самом деле энергия его отрицательна, тогда как все прочие
частицы обладают положительными энергиями. Конечно, такие внутренние
импульсы в высшей степени гипотетичны. Их вводят с тем, чтобы выбранная
модель стала применимой к твердому телу, оказывающему сопротивление
сжатиям и растяжениям (Синг [1175], стр. 210).
Различные частицы могут претерпевать столкновения друг с другом, т. е. их
мировые линии могут пересекаться. При столкновениях происходит
скачкообразное изменение 4-импульсов. В этом параграфе нет необходимости
полагать (как это потребуется в § 2), что отрезки мировых линий в
промежутках между двумя столкновениями представляют собой геодезические,
или принимать какие-либо законы сохранения для процесса столкновения, так
как ряд статистических параметров можно ввести и без этих предположений.
При статистическом описании системы, состоящей из большого числа частиц,
мы вводим в каждой рассматриваемой точке О ортонормированный 4-репер Я(0)
(вектор Я*4) временноподобен), а 4-импульс рх любой частицы,
§ 1. Статистическая модель
143
находящейся в точке О, разлагаем на инвариантные компоненты [см. (1.54)1:
Р(а) - Pi^(a)- (4-1)
Подняв лоренц-индекс, можно рассматривать р(°) как прямоугольные
координаты в плоском пространстве Минковского четырехмерных импульсов. В
таком пространстве уравнения
Р(а)Р(а) = const (4.2)
дают псевдосферы, а уравнение
Р(а)Р(а) = о (4.3)
описывает изотропный конус. Инвариантный элемент четырехмерного объема
равен
dp = dpil) dpw dpi3) dpm. (4.4)
На псевдосфере существует инвариантный элемент трехмерного объема, а на
изотропном конусе - инвариантный двумерный элемент (Синг [1175], стр.
430). if-
Всякое достаточно строгое рассмотрение статистики фотонов и внутренних
импульсов сопряжено с интегрированием по изотропному конусу, а в случае
материальных частиц квантовой природы, массы которых принимают дискретный
ряд значений, возникает необходимость суммирования по псевдосферам (Синг
[1179]). Однако эти трехкратные суммирования приводят к некоторым
формальным трудностям, не имеющим ничего общего с важными для нас на
данном этапе аспектами, так что мы несколько модифицируем задачу. Мы
будем приписывать фотонам и внутренним импульсам временноподобные мировые
линии и весьма малые массы, а материальные частицы будем считать
лишенными квантовых свойств. Кроме того, чтобы выделить существо дела, мы
отбросим внутренние импульсы притяжения. Тогда задача сводится к
рассмотрению системы материальных частиц, массы которых могут принимать
любые положительные значения, так что описывающие их точки в пространстве
4-импульсов образуют облако внутри части светового (изотропного) конуса
(4.3), соответствующей будущему. При попытке вернуться к исходному
положению потребовалось бы восстановить импульсы притяжения и перейти к
соответствующему пределу, устремляя определенные векторы 4-импульсов к
положению вдоль поверхности изотропного конуса, а другие - возможно на
квантованные псевдосферы. Однако этот процесс мы осуществлять не будем.
С заданным событием О мы связываем некоторый 4-импульс рг, так что
рассматриваются две точки - точка в пространстве - времени и точка в
пространстве 4-импульсов. В точке О возьмем поляризованную мишень1) dS\
