Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
каждую птицу взлетать в воздух в тот момент, когда она зажигает свой
фонарь. Но в каком направлении и с какой скоростью должна она лететь?
Рассмотрим, например, птицу 4. После того как она взлетит, ей предстоит
увидеть одновременно вспышки фонарей 3 и 5 (поскольку С
пространственноподобна, птица 4 может увидеть эти вспышки лишь после
того, как загорелся ее собственный фонарь и она оказалась в полете).
Такая схема событий, разумеется, не фиксирует Я>4), а лишь накладывает на
него некоторые ограничения. Сделав любой подчиняющийся необходимым
ограничениям выбор, не составляет труда определить для каждой птицы в ее
мгновенном пространстве два вектора Я*2) и Я'3), ортогональные Я*п.
Мы имеем теперь ортонормированный 4-репер, заданный вдоль
пространственноподобной кривой С, причем Я|0 касается С, а Я)4)
временноподобен и ортогонален С. Остается лишь применить этот опыт к
рассмотрению переноса Ферми - Уолкера. Сосредоточим внимание на птицах 3
и 4. Нужно в некоторый момент времени произвести где-нибудь взрыв, так
чтобы вспышка света от него достигла обеих птиц в то мгновение, когда они
зажигают свои фонари и взлетают. От каждой птицы в этом случае требуется,
чтобы она "указала" направление [относительно своего 3-репе, ра (триады)
Я{а)], в котором она видела вспышку света от взрыва. Критерий переноса Ф
- У состоит в следующем: направляющие косинусы относительно касательных
векторов Я{п' должны быть равны по абсолютной величине, но противоположны
по знаку, тогда как другие направляющие косинусы должны быть равны.
Настоятельно рекомендуем читателю придумать другие (возможно, более
простые) примеры. Однако при этом следует остерегаться двух ловушек. Во-
первых, нельзя опираться на два свойственных ньютоновским представлениям
и ошибочных в теории относительности понятия - об абсолютной
одновременности и абсолютно жестком теле. Во-вторых, коль скоро мы имеем
дело с общей теорией относительности, мыслить прямую мировую линию,
ортогональную к бесконечному трехмерному плоскому пространству,
недопустимо. Однако пока дело касается
138 Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве -
времени
малых областей и тензор Римана в наших грубых приближениях нигде не
фигурирует, эта ошибка более простительна.
При работе с пространственноподобными кривыми опасно прежде всего
допустить огромную и непоправимую ошибку - идентифицировать
пространственноподобную кривую с натянутой струной. Последнее
бессмысленно, так как всякая кривая представляет собой одномерное
пространство, а 4-траектория струны - двумерное. Правда, это двумерное
пространство естественно распадается на временноподобные кривые
(траектории частиц, из которых состоит струна), однако оно расщепляется
не на пространственноподобные кривые. Если угодно, можно провести в этом
двумерном пространстве линии, ортогональные к мировым линиям частиц, и
получить таким образом систему пространственноподобных кривых, каждую из
которых можно было бы назвать формой струны. Но это построение несколько
произвольно. Как бы глубоко ни укоренились в нас ньютоновские понятия и
представления, необходимо подчеркнуть, что пространство - время в общем
случае невозможно каким-либо инвариантным путем разделить на пространство
и время. Правда, для статических пространств (см. гл. VII и VIII) такое
расщепление действительно существует. Но этот случай весьма специфичен.
Чтобы осмыслить понятие пространства - времени, лучше пока оставить в
стороне статические пространства.
В процессе рассуждений, приведенных ниже, мы придем к физической
интерпретации пространственноподобных геодезических. Более того,
выяснится физический смысл первой нормали В1 и первой кривизны Ь любой
пространственноподобной кривой.
На фиг. 50 С - пространственноподобная кривая, a U1- временноподобный
единичный вектор, ортогональный к С и претерпевающий перенос Ферми вдоль
этой кривой. В направлениях Vх мы проведем временноподобные
геодезические, образующие двумерное пространство, на котором выберем
параметры (и, v), причем и - расстояние по геодезической от С, а с
принимает на каждой геодезической постоянное значение, так что на кривой
С параметр v - s, причем ds представляет собой пространственный элемент
(длины) на С. Тогда в обозначениях, которыми мы часто пользовались ранее,
dxi yi _ dxi &ui Sl/i
du ' ~ dv ' bv ~ 6u '
Wi . (3-192)
= о U Ul - - 1 Su uiu - ч
и, поскольку Ul претерпевает на С перенос Ферми, мы в силу (3.188) имеем
Фиг. 50. Физический смысл первой нормали и кривизны простран-
ствейноподобной кривой С. (Чертеж отнюдь не выполнен небрежно:
геодезические нормали к выпуклой кривой С имеют тенденцию сближаться.)
ьи1 uin б Vi п
-W=-VUrбГ Д-йя и = 0,
(3.193)
так как на С вектор Vх = А1 = dxl/ds представляет собой единичный вектор,
касательный к С.
Основная идея такова: чем сильнее искривлена линия С, тем быстрее
стремятся сблизиться геодезические v = const над выпуклой частью С.
Скорость уменьшения промежутков между соседними геодезическими
