Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
F(2)=i-s36c-i ~s4(56Dcy 2cD6 - bR^-ш)) -\ 0Ъ, (3.131)
Y{з) = - ^ s4 (36c<i -I- 6/?(344i)) -f 0Ъ.
Эти формулы описывают падение яблока в системе координат, образованной
главными нормалями мировой линии ветки дерева.
По сравнению с формулами (3.123) или (3.125) интерпретация (3.131) более
проста, так как У(а) имеют другой порядок малости. Если пренебречь
членами порядка 04, то, очевидно, движение будет совершаться главным
образом в направлении вектора - Вг с малым отклонением (порядка 03) в
направлении вектора С1. В трехмерном пространстве, в котором В1, С1 и D1
выбраны в качестве осей координат, траектория имеет вид, показанный фиг.
44. Уравнение траектории записывается в виде
У?2)=-{^(31). (3.132)
Мы замечаем, что начальное ускорение равно Ъ и направлено вдоль вектора-
В1.
Эти результаты проливают свет на вопрос о мировой линии земного
наблюдателя. Если последний бросает яблоко, то ускорение яблока
направлено вниз (направление ватерпаса) и величина его равна g.
Сопоставляя результат эксперимента с теорией относительности, видим, что
первая нормаль к мировой линии земного наблюдателя направлена вертикально
вверх (направление ватерпаса с обратным знаком), а первая кривизна его
мировой линии равна g-, на экваторе
b = g = 978,05 см/сек2 = 3,263-10'8 сект1. (3.133)
Выписывая эти числовые данные, мы должны пом-нить, что на протяжении
всей книги роль основного измерения играет
измерение времени, поэтому в качестве единицы измерения времени
удобно
использовать секунду, которую условимся считать величиной, кратной
периоду, скажем, красной линии кадмия. Исходя из экспериментального
значения скорости света, можно теперь величину сантиметра выразить в
секундах; мы имеем
1 сек = 2,998• 1010 см,
1 см = 3,336-10"11 сек. (3.134)
Выражение для g в сек [см. (3.133)] получено с учетом (3.134). Для
радиуса кривизны мировой линии земного наблюдателя имеем
Ь'1 = 3,065-107 сек, (3.135)
что равно приблизительно 1 году1).
Фиг. 44. Свободное падение, рассматриваемое относительно 3-репера,
образованного тройкой главных нормалей мировой линии точки подвеса.
*) Перечень численных значений приведен в добавлении Б.
126_______Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве -
времени
Если в ньютоновской механике учесть вращение Земли, то найдем, что
траектория падающего тела отклоняется к востоку. Если изобразить эту
траекторию на фиг. 44 так, чтобы вектор В1 был направлен вертикально
вверх, а С1- по направлению к востоку, то уравнение траектории будет
согласовываться с формулой (3.132) при условии, что
С2 СО2 COS2 \ /о 1
-*-=-g-. (3-136)
где (о - угловая скорость Земли, а % - географическая широта1). Итак, мы
видим, что вторая нормаль к мировой линии земного
наблюдателя
направлена к востоку, а вторая кривизна его мировой линии равна
с - со cos X. (3.137)
Для наблюдателя, расположенного на широте экватора, численные значения
этой второй кривизны и соответствующего радиуса кривизны равны
с = 7,292-10'5 сек1,
с'1 = 1,371-104 сек. (3.138)
Радиус равен приблизительно 4 час.
Интересно отметить, что, хотя ускорение, обусловленное гравитационными
силами, играет в обычной механике более важную роль, чем эффекты вращения
Земли, первая кривизна b фактически гораздо меньше второй кривизны с.
Действительно,
Y = 4,475-10"4. (3.139)
Мы убедились, что наблюдая ускорение и отклонение падающего тела, можно
физически интерпретировать нормали В1, С1 (а следовательно, в силу
ортогональности и D1) мировой линии наблюдателя, а также две первые
кривизны b и с. Из формулы (3.131) не следует, что третья кривизна d
доступна динамическому наблюдению. Однако здесь возможен другой подход. В
§ 8 нам удалось дать ферми-переносу физическое истолкование с помощью
отражающегося фотона. Убедимся теперь, что значение d вытекает из связи
между триадой (В1, С\ Д) и 3-рецером Ферми Ца). Последующие выкладки
[вплоть до формулы (3.145) включительно] носят чисто геометрический
характер.
Разложим единичные нормали на компоненты в 3-репере Ферми:
Вг = В{ a)h(a), С1=С( а)Дх)> (3 140)
D1 = Да)Д).
Для большей конкретности будем мыслить Х\а) как оси прямоугольных
декартовых координат. Тогда наблюдателю, пользующемуся координатами
Ферми, В (а), С(а), Да.) представятся как тройка взаимно ортогональных
единичных декартовых векторов. Подставим (3.140) в формулы Френе -Серре
(1.55) и воспользуемся уравнением ферми-переноса
дк'
-= ОМ Л(а)?",- = ОМ D(a.)
Получаем
В(а) - сС(а), С(0Ь) = dD(a) сДа) > Да) = -а)> (3.142)
(3.141)
См. J. L. Synge, В. A. Griffith, Principles of Mechanics, 3d. ed. New
York, 1959, p. 364. Мы приняли здесь, что истинное отклонение согласуется
со значением, даваемым ньютоновской формулой. Н. А. Козырев недавно
заявил, что это не так.
§ 10. Проблема баллистического самоубийства
127
где штрих имеет смысл [d/ds. Далее, если (в евклидовой кинематике)
ортонормированный 3-репер (i, j, к) вращается с угловой скоростью <о, то
мы имеем равенство •
